算法导论-第15章-动态规划-15-2 最长回文子序列（LPS）

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#算法导论

本文介绍了如何使用动态规划解决《算法导论》第15章中的一个问题——找到字符串的最长回文子序列。通过详细分析问题特性，提出了有效的解决方案，并提供了相应的代码实现。

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问题描述

回文序列(Palindromic sequence, Palindrome)是指 正向遍历和反向遍历完全相同的序列，例如字符串“AAAAA”显然是一个回文序列，又如字符串“ABC@CBA”也是一个回文序列。现在，我们要在一个（字符）序列中找出最长回文子序列的长度。例如字符序列"BBABCBCAB"，最长回文子序列是“BACBCAB”（可能不唯一），它的长度是7；子序列"BBBBB"和"BBABB"虽然也是回文序列，但却不是最长的，因此不合题意。

分析

对任意字符串，如果头和尾相同，那么它的最长回文子序列一定是去头去尾之后的部分的最长回文子序列加上头和尾。如果头和尾不同，那么它的最长回文子序列是去头的部分的最长回文子序列和去尾的部分的最长回文子序列的较长的那一个。
 
设字符串为s，f(i,j)表示s[i..j]的最长回文子序列。 
状态转移方程如下： 
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最长回文子序列
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03-01 1754
最长回文子序列 给定一个字符串s，找到其中最长的回文子序列。可以假设s的最大长度为1000。 示例 1: 输入: "bbbab" 输出: 4 一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。 示例 2: 输入: "cbbd" 输出: 2 一个可能的最长回文子序列为 "bb"。 一：动态规划之⼦序列问题解题模板 ⼦序列问题是常⻅的算法问题， ⽽且并不好解决。 ⾸先， ⼦序列问题本⾝就相对⼦串、...
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样本对应模型？范围尝试模型？ 如何套路使用！
动态规划 最长回文子序列
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红血哥
06-25 420
本文介绍了求解最长回文子序列的两种动态规划方法。标准解法使用二维数组dp[i][j]记录子串s[i..j]的最长回文子序列长度，通过状态转移方程处理首尾字符相同或不同的情况。优化方法将空间复杂度降至O(n)，利用一维数组和pre变量保存必要信息。算法时间复杂度为O(n²)，适用于处理字符串中的回文结构问题。文章包含代码实现、算法分析、测试用例和关键点说明，为理解动态规划解决回文问题提供了清晰路径。
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关于”回文串“的问题，是面试中常见的，本文提升难度，讲一讲”最长回文子序列“问题，题目很好理解：输入一个字符串 s，请找出 s 中的最长回文子序列长度。比如输入 s="aecda"，算法返回3，因为最长回文子序列是 "aca"，长度是3。。一定要记住这个定义才能理解算法。为什么这个问题要这样定义二维的 dp 数组呢？，这样定义容易归纳，容易发现状态转移关系。
longest-palindromic-subsequence:动态规划 | 第 12 组（最长回文子序列）（http
06-27
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最长回文子序列 给定一个字符串 s ，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000 。 示例 1: 输入: “bbbab” 输出: 4 一个可能的最长回文子序列为 “bbbb”。 解法：(参考) 与最长回文子串类似，都是从对角线往右上角更新。但是子序列可以不连续，所以递推公式是： 当子序列的首位相等时->dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2; 当子序列的首位不同时->dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+1]
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最长回文子序列（Longest Palindromic Subsequence，LPS）问题是指在一个给定的字符串中找到一个最长的回文子序列。回文子序列是指一个序列本身不是回文串，但它是一个回文串的子序列。 在C++中，我们可以使用动态规划（Dynamic Programming，DP）的方法来解决这个问题。动态规划的主要思想是将一个大问题分解成小问题，然后从小问题出发，逐渐求得大问题的解。 以下是一个使用动态规划解决最长回文子序列问题的C++示例代码： ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <string> using namespace std; // 函数用于计算字符串str的最长回文子序列的长度 int longestPalindromeSubseq(string str) { int n = str.size(); // 创建一个二维数组dp，用于存储子问题的解，初始化所有值为0 vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0)); // 单个字符的最长回文子序列长度为1，所以对角线上的元素设置为1 for (int i = 0; i < n; i++) { dp[i][i] = 1; } // 如果两个字符相同，那么它俩组成的子序列长度为2 for (int cl = 2; cl <= n; cl++) { for (int i = 0; i < n - cl + 1; i++) { int j = i + cl - 1; if (str[i] == str[j] && cl == 2) { dp[i][j] = 2; } else if (str[i] == str[j]) { dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; } else { dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]); } } } // 返回整个字符串的最长回文子序列长度 return dp[0][n - 1]; } int main() { string str; cout << "请输入一个字符串：" << endl; cin >> str; cout << "最长回文子序列的长度为：" << longestPalindromeSubseq(str) << endl; return 0; } ``` 在这段代码中，`dp[i][j]`表示从字符串的第`i`个字符到第`j`个字符组成的子串的最长回文子序列的长度。通过初始化对角线以及递推式逐步填充这个二维数组，最终可以得到整个字符串的最长回文子序列长度。
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