动态规划最长回文子序列

原创于 2025-06-25 14:53:05 发布 · 491 阅读

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516. 最长回文子序列

问题描述

给定一个字符串 s，找到其中最长的回文子序列的长度。子序列不要求连续。

示例：

输入: "bbbab"
输出: 4
解释: 最长回文子序列是 "bbbb"

输入: "cbbd"
输出: 2
解释: 最长回文子序列是 "bb"

算法思路

动态规划（DP 数组）：

状态定义：
- dp[i][j] 表示子串 s[i..j] 的最长回文子序列长度。
状态转移：
- 当 s[i] == s[j] 时：
  dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
- 当 s[i] != s[j] 时：
  dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
初始化：
- 单个字符是长度为 1 的回文：dp[i][i] = 1。
- 相邻字符相同则为 2：dp[i][i+1] = 2 if s[i]==s[i+1]。
遍历顺序：
- 从下往上（i 从 n-1 到 0），从左往右（j 从 i+1 到 n-1）。

空间优化（一维 DP）：

由于 dp[i][j] 仅依赖左侧（dp[i][j-1]）、下方（dp[i+1][j]）和左下角（dp[i+1][j-1]），可用一维数组代替二维数组。
用 pre 保存左下角值，避免覆盖。

代码实现

方法一：动态规划（DP 数组）

class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        if (s == null || s.isEmpty()) return 0;
        
        int n = s.length();
        int[][] dp = new int[n][n]; // dp[i][j] 表示 s[i..j] 的最长回文子序列长度
        
        // 初始化：单个字符的回文长度为 1
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = 1;
        }
        
        // 从下往上遍历
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            // 从左往右遍历（j 从 i+1 开始）
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                // 首尾字符相同
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    // 当 j=i+1 时，dp[i+1][j-1] 未定义，视为 0
                    int inner = (j - i > 1) ? dp[i + 1][j - 1] : 0;
                    dp[i][j] = inner + 2;
                } else {
                    // 取左侧或下方的最大值
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }
}

方法二：动态规划（空间优化）

class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        if (s == null || s.isEmpty()) return 0;
        
        int n = s.length();
        int[] dp = new int[n]; // dp[j] 表示当前行以 j 结尾的子串的最长回文子序列长度
        Arrays.fill(dp, 1);    // 初始化：每个字符自身长度为 1
        
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            int pre = 0; // 保存 dp[i+1][j-1] 的值
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                int temp = dp[j]; // 保存旧值（即 dp[i+1][j]）
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    // 状态转移：dp[i][j] = pre + 2
                    dp[j] = pre + 2;
                } else {
                    // 状态转移：dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1]);
                }
                pre = temp; // 更新 pre 为 dp[i+1][j]（用于下一轮作为 dp[i+1][j-1]）
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
}

算法分析

时间复杂度：O(n²)
两层循环遍历所有子串。
空间复杂度：
- 二维 DP：O(n²)
- 一维 DP：O(n)

算法过程

输入：s = "bbbab"

二维 DP 初始化：
- 对角线 dp[i][i] = 1
状态转移：
- i=3, j=4：'a' != 'b' → dp[3][4]=max(dp[4][4], dp[3][3])=max(1,1)=1
- i=2, j=3：'b' != 'a' → dp[2][3]=max(dp[3][3], dp[2][2])=1
- i=2, j=4：'b' == 'b' → dp[2][4]=dp[3][3]+2=3
- i=1, j=2：'b' == 'b' → dp[1][2]=2
- i=1, j=3：'b' != 'a' → dp[1][3]=max(dp[2][3], dp[1][2])=max(1,2)=2
- i=1, j=4：'b' == 'b' → dp[1][4]=dp[2][3]+2=1+2=3
- i=0, j=1：'b' == 'b' → dp[0][1]=2
- i=0, j=2：'b' == 'b' → dp[0][2]=dp[1][1]+2=3
- i=0, j=3：'b' != 'a' → dp[0][3]=max(dp[1][3], dp[0][2])=max(2,3)=3
- i=0, j=4：'b' == 'b' → dp[0][4]=dp[1][3]+2=2+2=4
结果：dp[0][4]=4

测试用例

public static void main(String[] args) {
    Solution solution = new Solution();
    
    // 测试用例1: 标准示例
    String s1 = "bbbab";
    System.out.println("Test 1: " + solution.longestPalindromeSubseq(s1)); // 4
    
    // 测试用例2: 连续相同字符
    String s2 = "cbbd";
    System.out.println("Test 2: " + solution.longestPalindromeSubseq(s2)); // 2
    
    // 测试用例3: 全相同字符
    String s3 = "aaaa";
    System.out.println("Test 3: " + solution.longestPalindromeSubseq(s3)); // 4
    
    // 测试用例4: 单字符
    String s4 = "a";
    System.out.println("Test 4: " + solution.longestPalindromeSubseq(s4)); // 1
    
    // 测试用例5: 无回文子序列（最长1）
    String s5 = "abc";
    System.out.println("Test 5: " + solution.longestPalindromeSubseq(s5)); // 1
    
    // 测试用例6: 长字符串
    String s6 = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
    System.out.println("Test 6: " + solution.longestPalindromeSubseq(s6)); // 1
}