点乘与叉乘是否满足结合律

今天遇到了一个问题，一个式子包含一个叉乘的同时还包含了一个点乘。这个式子如下：
$${\nabla }_t\times \hat{z}\cdot \hat{z}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，
${\nabla }_t=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{y}$：del算符的横向分量。

那么这个式子的结果究竟是什么呢？

第一种计算方式

首先我们按照从左到右的顺序来计算这个式子，
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_t\times \hat{z}\cdot \hat{z}& =\left(\frac{\partial }{\partial x}\hat{x}\times \hat{z}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{y}\times \hat{z}\right)\cdot \hat{z}\\ & =\left(-\frac{\partial }{\partial x}\hat{y}+\frac{\partial }{\partial y}\hat{x}\right)\cdot \hat{z}\\ & =0\end{array}$$

第二种计算方式

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_t\times \hat{z}\cdot \hat{z}& ={\nabla }_t\times \left(\hat{z}\times \hat{z}\right)\\ & ={\nabla }_t\times 1\\ & =0\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
上述两种方法可见结果一致，有些小伙伴们就会立刻得到一个结论，对于一个既包含叉乘又包含点乘，且叉乘在前，点乘在后的式子，我们可以先计算点乘，再计算叉乘，最终的结果不会变化。事实真的是这样吗？

根据矢量标识，我们对${\nabla }_t\times \left(\hat{z}\times \hat{z}\right)$进行展开得到：
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_t\times \left(\hat{z}\times \hat{z}\right)& ={\nabla }_t\times \hat{z}\cdot \hat{z}+{\nabla }_t\times \hat{z}\cdot \hat{z}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
对比（2）式和（3）式，显然二者是不一致的。且矢量标识类似于公理，我们给出的第二种计算方式是错误的。

因此，我们说只是恰好在本例中${\nabla }_t\times \hat{z}\cdot \hat{z}=0$，因此我们侥幸得到了${\nabla }_t\times \left(\hat{z}\times \hat{z}\right)={\nabla }_t\times \hat{z}\cdot \hat{z}$。因此，遇到叉乘和点乘同时存在的式子，我们不能够随意地变动它们的计算顺序，要根据情况而定。

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