循环码生成原理与FPGA实现

        近日，因为项目的需要，重新拾起编码理论，这个项目当中，发送端的信息序列添加了CRC码字，好在接收端进行CRC校验，检测接收到的信息序列是否在传输过程中出现了错误。CRC编码作为循环码字的一种，通常用在数据传输的检错中，其生成原理与循环码字的生成完全一致，其原理下面会进行说明。

1. 编码原理

        循环码的码字多项式都是多项式g(D)的倍式，该g(D)的阶数为r=n-k，对于一个信息序列M(D)，其码字多项式可以表示为

A(D) = D^(n-k)*M(D) + r(D),

        r(D)为监督码多项式，它等于D^(n-k)*M(D)除以g(D)得到的余式，说的通俗一点，循环码的构造就是凑出一个余式r(D)使得码字多项式A(D)能够被生成多项式g(D)整除，在传输过程中码字A(D)一旦发生了错误，则接收端的码字不能够被生成多项式整除，就可以知道在传输过程中发生了错误，在循环码字的纠错范围内时，可以根据错误的图案（接收到的码字除以生成多项式的余式），找到对应错误的信息比特位。余式r(D)可以表示为

r(D) = D^(n-k)*M(D) mod g(D),

        下面举个例子看看循环码字是怎么生成的。对于一个(7, 4)的系统循环码，7表示码字长度n=7，4表示编码的信息序列长度k=4，那么监督序列的长度r=n-k=3，系统码表示生成的n比特码字中，前面k个比特的码字与信息码字完全一致，只是在信息码字后添加了r个比特的校验位。言归正传，(7, 4)系统循环码的生成多项式为g(D) = D^3 + D^2 + 1，若信息码为1001，那么怎么求编码后的码字呢？我们知道，只要求出后面r个比特的监督码字就行了，前面的k个比特的码字照抄信息码字就行了。信息码字1001写成多项式的形式为

M(D) = D^3 + 1,

        监督多项式通过求余得到：

r(D) = D^3*(D^3 + 1) mod (D^3 + D^2 + 1) = D + 1,

        码字多项式：

A(D) = D^3*(D^3 + 1) + D + 1 = D^6 + D^3 + D + 1,

        码字多项式写成序列的形式为1001011。值得一提的是，在编码过程中，所采用是GF(2)域上的加减法运算，相当于说减法也可看成加法，所有的加法都是模2加运算，即

1 + 1 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 0,

        对于k比较长的情况，写成这种多项式的形式不便于计算，这里提供另外一种表达形式，实际上都是求余式操作，不过在形式上做了简化而已。

                                                                                         1  1  1  1

                                                                                 _____________________

                                                               1101       |         1   0  0  1  0  0  0

                                                                                   +    1   1  0  1

                                                                                   ----------------------------

                                                                                              1  0  0  0

                                    &nbs