一文读懂循环码：原理、生成与编码全解析

1 循环码基础

1.1 循环码的概念

在线性分组码中有一类重要的码，称为循环码。循环码是在严密的现代代数学理论的基础上建立起来的。这种码的编码和解码设备都不太复杂，而且检错和纠错的能力都较强。循环码除了具有线性码的一般性质外，还具有循环性。

循环性: 任一码组循环一位后仍然是该编码中的一个码组。

这里的“循环”是指将码组中最右端的一个码元移至左端；或反之，即将最左端的一个码元移至右端。在表1中给出一种（7，3）循环码的全部码组。由此表中列出的码组可以直观地看出它的循环性。例如，表中第2码组向右移一位即得到第5码组；第6码组向右移一位即得到第3码组。

表1 一种（7，3）循环码的全部码组

码组编号	信息位 (a_6a_5a_4)	监督位 (a_3a_2a_1a_0)	码组编号	信息位 (a_6a_5a_4)	监督位 (a_3a_2a_1a_0)
1	000	0000	5	100	1011
2	001	0111	6	101	1100
3	010	1110	7	110	0101
4	011	1001	8	111	0010

一般来说，若$(a_{n-1}{a}_{n-2}\cdots a_0)$是循环码的一个码组，则循环移位后的码组：

$$\begin{array}{rl}& (a_{n-2}{a}_{n-3}\cdots a_0{a}_{n-1})\\ & (a_{n-3}{a}_{n-4}\cdots a_{n-1}{a}_{n-2})\\ & ⋮\\ & (a_0{a}_{n-1}\cdots a_2{a}_1)\end{array}$$

仍然是该编码中的码组。

1.2 码组的多项式表示

在代数编码理论中，为了便于计算，把码组中的各个码元当做一个多项式的系数。这样，一个长度为(n)的码组就可以表示成：

$$T(x)=a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\cdots +a_{1}x+a_0(1-1)$$

应当注意，上式中 $x$ 的值没有任何意义，我们也不必关心它，仅用它的幂代表码元的位置。这种多项式有时被称为码多项式。

例如，表1中的任意一个码组可以表示为：

$$T(x)=a_6{x}^6+a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0（1-2）$$

其中第7个码组可以表示为：$$\begin{array}{rl}T(x)& =1\times x^6+1\times x^5+0\times x^4+0\times x^3+1\times x^2+0\times x+1\\ & =x^6+x^5+x^2+1\end{array}（1-3）$$

2 循环码的运算

2.1 模2运算的启发

在整数运算中，有模$n$运算。例如，在模2运算中，有：

$$1+1=2\equiv 0(\text{模 }2)1+2=3\equiv 1(\text{模 }2)2\times 3=6\equiv 0(\text{模 }2)$$

一般来说，若一个整数$m$可以表示为：

$$\frac{m}{n}=Q+\frac{p}{n}p<n-------（1-4）$$

式中，$Q为整数。则在模n运算下$，有：

$$m\equiv p(\text{模 }n)---------（1-5）$$

所以：

$在模n运算下，一个整数m等于它被n除得的余数。$

2.2 码多项式按模运算

上面是复习整数的按模运算。现在码多项式也可以按模运算。

$若任意一个多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除，得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x)$，即：
$$F(x)=N(x)Q(x)+R(x)-------（1-6）$$

$则在按模N(x)运算下，有$：