codeforces 489e Hiking dp+01分数规划+二分

最新推荐文章于 2021-03-20 15:35:17 发布

AC_vitasoy

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分类专栏：动态规划——普通dp 基本算法——二分数学——01分数规划文章标签： codeforces 489e Hiking 01分数规划

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本文探讨利用分数规划和二分查找解决最小化问题，具体问题背景涉及在给定条件下的路径选择与整体满意度计算。通过数学建模，引入01分数规划的概念，并详细解释如何通过二分查找法寻找到最优解。文章最后提供了C++代码实现，展示了从理论到实践的完整过程。

题意：

一个人在起点0，有n个休息点，每个点有两个数值，分别表示距离起点的距离xi，以及所获得的愉悦值bi

这个人打算每天走L距离，但实际情况不允许他这么做。

定义总体失望值val = sum(sqrt(Ri - L)) / sum(bi); Ri:一天所走的距离。i为所到的节点。

现在要使得val最小（这个人必须要到达最终的节点），让你找出相应的方案，即把所应走的休息点输出。

思路：

一开始用dp，结果是错的，当时也感觉有点不对。

01分数规划，网上找了一下资料以及让铭神解答了一些疑惑，还得多做几题才能熟悉。

对于01分数规划，其实就是求解分数的最值问题。

假如对于原来的式子val = sum(a[i]*x[i])/sum(b[i]*x[i]);//x[i]:1或者0，表示走或不走这个点；

（假设answer就是最优值，放到这题来说，也就是说是最小值；为了方便起见，这里的A、B代表最优的方案）

answer = A/B；

那么对于所有方案有：

answer <= sum(a[i]*x[i])/sum(b[i]*x[i]) ①

移项之后：

sum(a[i]*x[i]) - sum(b[i]*x[i])*answer >= 0 ②

由式子②可看出，最终的answer要使得所有的方案均>=0；

由于现在不知道answer究竟是多少，我们先假设一个值，记为L;

F（L） = sum(a[i]*x[i]) - sum(b[i]*x[i])*L;

可以看出，函数F(L)在方案确定的情况下，L值越大，F（L）值越小，是一个单调递减函数。

但实际上，即使方案不固定，F（L）的值也是随着L的增大而减少。

（图中斜线代表方案，横坐标代表变量L）当L增大的时候，所有的方案F（L）值都会减少。

既然这样，我们就可以二分L来找answer。

二分L，找到使sum(a[i]*x[i])-sum(b[i]*x[i])*L 的最小的方案（对于本题，这个就是用dp实现）

*以下用A[i]表示sum(a[i]*x[i])，B[i]表示sum(b[i]*x[i]);

如果F（L） > 0，则有L < A[i]/B[i]（虽说此时的L已经使所有方案均>=0，但此时的L是取不到的。因为A[i]/B[i]已经是当前最小的了，而L却更小）此时应该把下界上移，即l = mid;

如果F（L）< 0，则有L > A[i]/B[i]，说明L太大，其实可以再小一点。因为A[i]/B[i]就是更优的方案。此时应该把上界下移，即r = mid;

类似的，如果是求最大值，则只要把式子①改为”>=“。

*由于也才刚学的01分数规划，本想说得更通用点，限于目前的理解，只能到这里。如果上文有哪里不对的话，还望指正。

code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e3+5;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, l;
int x[MAXN], b[MAXN];
int par[MAXN];
double dp[MAXN];

void getRoute(int i)
{
    if(i == 0) return;
    getRoute(par[i]);
    cout<<i<<" ";
}
bool check(double L)
{
    dp[0] = 0;
    for(int i = 1;i <= n; i++)
    {
        dp[i] = INF;
        for(int j = 0;j < i ;j++)
        {
            double tmp = dp[j] + sqrt(1.0 * abs(x[i]-x[j]-l)) - L*b[i];
            if(tmp < dp[i])
            {
                dp[i] = tmp;
                par[i] = j;
            }
        }
    }
    if(dp[n] < 0) return true;
    return false;
}
    
void solve()
{
    double l = 0, r = 1e10;
    while(r-l > 1e-8)
    {
        double mid = (l+r)/2;
        if(check(mid))
            r = mid;
        else 
            l = mid;
    }
    getRoute(n);
    cout<<endl;
}
            
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>l;
    for(int i = 1;i <= n ;i++)
        cin>>x[i]>>b[i];
    solve();
    return 0;
}