HUST 1214 Cubic-free numbers II 容斥原理

最新推荐文章于 2017-08-28 20:25:35 发布

AC_vitasoy

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分类专栏：数学——容斥原理文章标签：容斥原理

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本文讨论了如何在给定的区间内计算不能表示为某个整数的三次方乘以另一个整数的数的数量。通过使用容斥原理和莫比乌斯反演，作者提供了一种解决此类问题的方法，特别关注于大数值范围内的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

求出区间[L,R)内，有多少个不能表示成(x^3)*k的数，其中x > 1。

L,R范围应该是带符号64位整型数内。

思路：

9个月前做的那个容斥原理的专题遗留下来的问题。。

最近做一下莫比乌斯反演，把容斥原理什么的都搞一下。

R最大可能达到10^18，开个3次方根号，降为10^6.

*若x=2，则1~M范围内，有M/(2^3)个数可以表示成题意所描述的形式。

根据算术基本定理，只需要质数。我们只需要筛出质数，然后根据基本容斥思想进行容斥即可。

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = (int)2e6+(int)2e5;
typedef long long LL;

LL l, r;
LL t[N];
int prime[N], cnt;
bool vis[N];
LL ans;
void preProcess() {
    cnt = 0;
    for(int i = 2;i < N; i++) {
        if(!vis[i]) prime[cnt++] = i;
        for(int j = 0;j < cnt; j++) {
            if(prime[j]*i >= N) break;
            vis[i*prime[j]] = true;
            if(i%prime[j] == 0) break;
        }
    }
    for(int i = 0;i < cnt; i++)
        t[i] = (1ll*prime[i]*prime[i]*prime[i]);
    //cout<<t[cnt-1]<<endl;
}

void dfs(int idx, int num, LL sum, LL val) {
    if(num != 0) {
        if(num&1) ans -= val/sum;
        else ans += val/sum;
    }
    for(int i = idx;i < cnt; i++) {
        if(t[i] > val/sum) break;   //细节:乘改为除
        dfs(i+1, num+1, sum*t[i], val);
    }
}

int main() {
    preProcess();
    int T;
    LL l, r;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%lld%lld", &l, &r);
        ans = l-1;
        dfs(0, 0, 1, l-1);
        LL tmp = ans;
        ans = r-1;
        dfs(0, 0, 1, r-1);
        printf("%lld\n", ans-tmp);
    }
    return 0;
}