求解素数（质数）集合的四种算法（Java版本）

素数又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

介绍四种求解自然数n以内素数集合的方法，求解效率依次递进，想看最有效率的方法直接翻到最后就好。

常规方法

算法原理：如果一个数字能被内的某个数整除，它就不是素数，反之就是素数。

时间复杂度：

// 判断单个自然数是不是素数
private static boolean isPrime(int num) {
    for (int i = 2; i < num; i++) {
        if (num % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

// 求解素数集合
public static List<Integer> getPrimes(int n) {
    List<Integer> primes = new ArrayList<>();
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (isPrime(i)) primes.add(i);
    }
    return primes;
}

常规方法进阶版

算法原理：因为，假设，如果，那么，所以判断一个数是否素数时，只需判断该数能否被内某个数整除即可。

时间复杂度：

// 判断单个自然数是不是素数
private static boolean isPrime(int num) {
    if (num < 2) return false;
    for (int i = 2; i * i <= num; i++) {// 区别于常规方法的地方
        if (num % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

// 求解素数集合
public static List<Integer> getPrimes(int n) {
    List<Integer> primes = new ArrayList<>();
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (isPrime(i)) primes.add(i);
    }
    return primes;
}

埃氏筛法

算法原理：从2开始，将中每个素数的倍数都标记为合数，剩下的就都是素数。（对比欧拉筛法理解）

时间复杂度：

我的代码实现与算法原理稍有不同，因为代码逻辑将“收集素数”和“筛除合数”两件事情合并到了一个for循环里面

public static List<Integer> getPrimes(int n) {
    List<Integer> primes = new ArrayList<>();
    if (n < 2) return primes;
    // 下标i表示数字i，arr[i]==false表示素数，arr[i]==true表示非质数
    boolean[] arr = new boolean[n + 1];
    arr[0] = arr[1] = true;// 0、1 既不是质数又不是合数，可用true表示
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!arr[i]) {
            primes.add(i);// 收集素数
            for (int j = i * i; j <= n; j += i) arr[j] = true;// 筛除合数
        }
    }
    return primes;
}

埃氏筛法的不足之处是会重复筛除一些合数，比如合数18，判断2是否素数时会被筛除一次，判断3是否素数时又被筛除一次。

就是因为这个原因，它的时间复杂度才到不了，接下来的欧拉筛法弥补了这个不足，将时间复杂度降到了最高效的。

欧拉筛法

算法原理：从2开始，将中每个素数当作最小质因数去标记合数，剩下的就都是素数。（对比埃氏筛法理解）

时间复杂度：

public static List<Integer> getPrimes(int n) {
    List<Integer> primes = new ArrayList<>();
    if (n < 2) return primes;
    // 下标i表示数字i，arr[i]==false表示质数，arr[i]==true表示非质数
    boolean[] arr = new boolean[n + 1];
    arr[0] = arr[1] = true;// 0、1 既不是质数又不是合数，可用true表示
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!arr[i]) primes.add(i);// 是素数
        for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes.get(j) <= n; j++) {
            arr[primes.get(j) * i] = true;// 素数 primes.get(j) 是合数 primes.get(j) * i 的最小质因数
            if (i % primes.get(j) == 0) break;// 最重要的一句代码！！！可保证上一行 primes.get(j) 是最小质因数
        }
    }
    return primes;
}

算法中break那行代码的原理最难理解，作用就是弥补埃氏筛法的不足，防止重复筛除合数。

代码含义：如果当前素数primes.get(j)是数字i的最小质因数，那么后面的素数就不可能是数字i及其倍数的最小质因数。

举个例子：假如当前数字是8，当前素数是2，理应跳出循环。如果继续，那么下一个素数是3，所以 ，但是24的最小质因数是2不是3，再继续 ，32的最小质因数是2不是5，以此类推，可以发现8及其倍数的最小质因数都应该是2，所以到2这里就应该跳出循环了。