【动态规划】超级台阶

超级台阶

时间限制:1000 ms  |  内存限制:65535 KB
难度:3
描述

有一楼梯共m级,刚开始时你在第一级,若每次只能跨上一级或二级,要走上第m级,共有多少走法?

注:规定从一级到一级有0种走法。

输入
输入数据首先包含一个整数n(1<=n<=100),表示测试实例的个数,然后是n行数据,每行包含一个整数m,(1<=m<=40), 表示楼梯的级数。
输出
对于每个测试实例,请输出不同走法的数量。
样例输入
2
2
3
样例输出
1
2
#include<stdio.h>
int main()
{
	int n,i,m;
	int a[45];
	a[1]=0;
	a[2]=1;
	a[3]=2;
	for(i=4; i<45; i++)
	{
		a[i]=a[i-1]+a[i-2];
	}
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		scanf("%d",&m);
		printf("%d\n",a[m]);
	}
	return 0;
}


### 动态规划解决爬楼梯问题的实现方法 动态规划(Dynamic Programming,简称DP)是一种常用于解决最优化问题的算法设计思想。在“爬楼梯”问题中,目标是计算一个人从楼梯底部爬到第 $ n $ 阶楼梯的所有可能方式,假设每次只能跨 1 步或 2 步。 #### 问题分析 - **状态定义**:设 $ dp[i] $ 表示到达第 $ i $ 阶楼梯的方法数。 - **转移方程**:由于每次可以走 1 步或 2 步,因此到达第 $ i $ 阶楼梯的方式等于到达第 $ i-1 $ 阶和第 $ i-2 $ 阶楼梯的方式之和,即: $$ dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] $$ - **初始条件**:当 $ i=1 $ 时,只有一种方式(一步到位),即 $ dp[1] = 1 $;当 $ i=2 $ 时,有两种方式(1+1 或 2),即 $ dp[2] = 2 $。 #### 实现代码 以下是使用 Java 实现的动态规划解法: ```java public class ClimbStairs { public static int climbStairs(int n) { if (n == 1) { return 1; } if (n == 2) { return 2; } int[] dp = new int[n + 1]; dp[1] = 1; dp[2] = 2; for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 状态转移方程 [^4] } return dp[n]; } public static void main(String[] args) { int n = 10; // 假设楼梯有10阶 System.out.println("到达第 " + n + " 阶楼梯的方法数为: " + climbStairs(n)); } } ``` #### 时间与空间复杂度 - **时间复杂度**:$ O(n) $,因为需要遍历所有台阶一次。 - **空间复杂度**:$ O(n) $,使用了一个数组存储中间结果。 #### 优化思路 如果进一步优化空间复杂度,可以仅用两个变量来保存前两个状态,而无需整个数组,从而将空间复杂度降至 $ O(1) $。 ##### 优化后的代码 ```java public class ClimbStairsOptimized { public static int climbStairs(int n) { if (n == 1) { return 1; } if (n == 2) { return 2; } int prev = 1; // dp[i-2] int curr = 2; // dp[i-1] for (int i = 3; i <= n; i++) { int next = prev + curr; // 计算当前状态 prev = curr; // 更新dp[i-2] curr = next; // 更新dp[i-1] } return curr; } public static void main(String[] args) { int n = 10; // 假设楼梯有10阶 System.out.println("到达第 " + n + " 阶楼梯的方法数为: " + climbStairs(n)); } } ``` #### 总结 动态规划通过分解问题并存储中间结果,有效地解决了“爬楼梯”问题,避免了递归带来的重复计算问题。同时,通过状态压缩,还可以进一步优化空间效率。 ---
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