无穷项和求极限（夹逼准则）

题目1：求 ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$

分析：

无穷项和求极限，首先分析每一项之间的不同之处。这道题每一项的差别，只有分母根号里面的一个一次项，也就是一个二分之一次项。当每一项分母的差别，都是一个次数较小的项时，直接使用夹逼准则即可。在每一项的分母中，找到最大值M和最小值m，设分子求和为sum，则夹逼准则的下界为 $\frac{sum}{M}$，上界为 $\frac{sum}{m}$。

还有一个问题，以什么标准判断每一项分母的差别，是一个次数较小的项呢？答案很简单，如果分母中有差别的项不是分母的最高次项，就可以认为分母的差别是一个次数较小的项。

当然，如果每一项只有分子有差别，也可以使用夹逼准则，同样要求有差别的项不是分子的最高次项，不过有时候，分子和分母的次数相差太大，具体来说，如果分母的最高次项的次数减分子最高次项的次数大于1，那么不管分子的差别项是不是分子的最高次项，都可以使用夹逼准则。

答案：

设 f(x) = $\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$，g(x) = $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$

显然，${\lim }_{n\to +\infty }f(x)$ = 1，${\lim }_{n\to +\infty }g(x)$ = 1

又 $\because$ f(x) < $\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ < g(x)

$\therefore$ ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ = 1