无穷项和求极限（定积分）

题目1：求 ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}$

分析：

这道题首先找每一项的差别，发现分母的差别项是分母的最高次项，所以这道题没法用夹逼准则。观察发现这道题分子是所有项都是齐次的，分母所有项也是齐次的，并且分母所有项的次数比分子的次数多1次，那么很明显，应该提出一个 $\frac{1}{n}$，然后凑成一个 $\sum f(\frac{i}{n})$ 的形式，之后应用以下公式即可求解：

${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})={\int }_0^{1}f(x)dx$，其中令 $x=\frac{i}{n}$

答案：

${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}$

$={\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$

$={\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx$

$=ln1+x{|}_0^1$

$=ln2$