数学

1.1 排列组合

排列组合主要应用在计数原理的问题上

加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法 （摘自百度百科）

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有mn不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1m2m3…mn 种不同的方法 （摘自百度百科）

排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示 A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定0!=1 　　

组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；C(n,m)=C(n,n-m)。

环排列：从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!.

多组组合：n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!×n2!×...×nk!).

可重组合： k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m)。

该问题可引申到，k个非负整数xi{1<=i<=k}之和为m(m>=0)，满足∑{1<=i<=k}xi=m的非负整数解有多少组

如果令yi=xi+1，n=m+k，则还可引申为，k个正整数yi{1<=i<=k}之和为n(n>=k)，满足∑{1<=i<=k}yi=n的正整数解有多少组

范德蒙恒等式：对任意0<=k<=n，有C(n,m)=∑{0<=i<=m}C(k,i)C(n-k,m-i)

二项式定理：(x+y)^n =∑{0<=k<=n} C(n,k)x^(n-k)y^k

1.2 递推关系

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d

前n项和公式为：Sn=n(a1+an)/2

等比数列(q不为0)的通项公式为：an=a1*q^(n-1)

前n项和公式为：

q不为1 Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

以及q=1 Sn=na1

线性常系数齐次递推关系：∑{0<=i<=k}CiAn-i=0，其中C0=1，并已知Ai(0<=i<k)

则特征方程为，∑{0<=i<=k}Cix^(k-i)=0

设其在复数域内共有m个不同的根，Ri(1<=i<=m)，

且Ri是方程的Ji重根，满足∑{1<=i<=m}Ji=k

那么，原递推式通解为：An=∑{1<=i<=m}(Ri^n*∑{0<=j<Ji}Fij*n^j)

其中Fij为待定系数

如若，是非齐次，如∑{0<=i<=k}CiAn-i=G(n)，而G(n)是多项式

那么可以将原式反复差分，从而齐次化，再依旧用待定系数法求解

---

求解一般递推数列中的不动点法

先得到原式的特征方程F(G(x))

然后求解F(G(x))=G(x)的根（简单起见许多时候可以就令G(x)=x）

设跟为a,b,c,d.....

那么很有可能方程可以化成形式是x-a,x-b,x-c,x-d.....等等的整数幂（包括负数幂，就是作分母）的乘积的和

如此再用迭代的方式求出来

1.3 素数
●知识精讲

质数，也称素数，是指因子只有1和其本身的数。对应的，还能被其他整数整除的数称为合数。0和1既不是素数也不是合数。素数在数论中有着举足轻重的地位，在ACM中也常常出现，常见的有判断一个数是否为素数，求某范围内的素数，分解质因数，求因子个数，因子和，以及与其他数论定理相结合的题目等等。

关于素数有许多的构造定理和猜想，详细的资料可自行查询，这里仅对题目中常见的有关素数的应用做简单介绍。

●例题分析

1.判断素数的方法

（1）直接按照定义判断

     bool check(int n)  

     {   

           if (n<=1) return false;   

           if (n==2) return true;   

           for (int i=3; i<=sqrt(n); i+=2)     

                if (n%i==0) 

                   return false;   

            return true;  

      }  

（2）素数筛法

像“筛子”一样将一定范围内的素数筛选出来。

    void Getprime()  

    {   

         memset(prime,0,sizeof(prime));    

         for (int i=3; i<=N; i++)             

               if (i%2==0) prime[i] = false;             

               else prime[i] = true;         

          prime[2] = true;         

          prime[1] = false;         

         for (int i=3; i<=sqrt(N); i+=2)             

             if (prime[i])                 

                 for (int j=i*i; j<N; j+=2*i)                      

                       prime[j] = false;  

     }  

（3）费马小定理测试（定理）

费马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1. 利用费马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过 计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n 很可能是素数.

（4）Miller-Rabbin素数测试法

二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或x=p-1. 利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程 中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二次探测条件,即得出n不是素数的结论.

如果n是大于2的素数,则(n-1)必是偶数,因此可令(n-1)=m*(2^q),其中m是正奇数( 若n是偶数,则上面的m*(2^q)一定可以分解成一个正奇数乘以2的k次方的形式 ),q是非负整数,考察下面的测试: 我们要选择一个随机的整数p (1<=p<=n-1)，接下来判断 p^m=1 (mod n),如果成立，我们就说n通过了测试，但是有可能不是素数也能通过测试。所以我们通常要做多次这样的测试，以确保我们得到的是一个素数。Miller 测试进行k次,将合数当成素数处理的错误概率最多不会超过4^(-k).

     bool Miller_rabin(INT n)  

     {     

         if (n==2) return true;     

         if (n<2 || !(n&1)) return false;     //先计算出m、j，使得n-1=m*2^k，其中m是正奇数，k是非负整数     

         INT m = n-1,k = 0;     

         while (!(m&1))

         {         

                k++;         

                m >>= 1;     

         }//得到m，k     

         for (int i=0; i<9; i++)

        {//连续测试         

              if (p[i] >= n) return true;        

              INT u = power_mod(p[i],m,n); //随机取一个p计算 p^m % n      

              If (u == 1) continue; //一组测试完成通过            

              for (int j=0; j<k; j++){         

                  INT buf = product_mod(u,u,n);//计算u*u%n         

                   if (buf==1 && u!=1 && u!=n-1) return false; //二次检测非素数          

                    u = buf;           

                }           

             if (u>1) return false;     

           }     

           return true;  

        }  

2.欧拉函数

对正整数n，欧拉函数φ是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。φ函数的值通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

      int Euler(int n)  

      {        

           int ans = n;        

           for (int i=2; i<=sqrt(n); i++)

           {          

                if (n%i==0)

                {           

                      ans = ans-ans/i;           

                      while (n%i==0) n /= i;         

                  }        

            }        

            if  (n>1) 

                ans = ans-ans/n;        

            return ans;  

       }

1.4 二进制
●知识精讲

进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法。 对于任何一种进制---X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位。在这里主要讨论进制转换和位运算两个问题。

1.进制转换

所谓进制只是一个权重，在A进制下，数字实际值是各位数字的"权值*权重"的累加值。 而"权重"为A的n次方，n代表位数。

用公式来表示就是：

abcd = a * A^3 + b * A^2 + c * A^1 + d * A^0

举个直观的例子来说 在7进制下，数字 1234 的大小应该是 1 * 7^3 + 2 * 7^2 + 3 * 7^1 + 4 * 7^0 =1*343 + 2*49 + 3*7 + 4*1 =466

用这个方法可以将十进制转化为任意进制。

十进制转任意进制的方法一般有两种：

  1.试减法    2.短除法  

总的来说，方法1适合笔算，方法2适合计算机算。试减法就是通过估算反复减去不大于目标数字的权重的n次方来得到每一位的数字，事实上试探的过程。短除法通过反复短除目标数求余来得到每一位上的数字：

比如 1234 转 5 进制  1234 / 5 = 246余 4  246 / 5 = 49 余 1  49 / 5 = 9 余 4  9 / 5 = 1 余 4  1 / 5 = 0 余 1  可以看出，所有的余数就构成了转化的结果 14414。  

通常的A 进制转 B 进制的做法是先将 A 进制转换为十进制，再将十进制的数字转化为B进制。

而对于大数的进制转换，则不能直接短除，我们改为按位除，但整个过程仍然是短除法的思想。比如将1001由十进制转化为二进制，第一轮从最高位1开始，1/2商0余1，计算0时，不是直接用0来除以2，而是由上一位的余数*基数10+此位数，即被除数为1*10+0=10，10/2商5余0，以此类推，得到商为0500，即500，最后一位的余数为1，第一轮完成，余数1即为转化后结果的最低位，由500开始下一轮，直到被除数为0。事实上，每一轮都是大数除法的过程，也就是模拟了手动计算除法的过程。

2.位运算总结

在计算机程序中，数据的位是可以操作的最小数据单位，理论上可以用“位运算”来完成所有的运算和操作。一般的位操作是用来控制硬件的，或者做数据变换使用，但是，灵活的位操作可以有效地提高程序运行的效率。C语言提供了位运算的功能， 这使得C语言也能像汇编语言一样用来编写系统程序。

C语言提供了六种位运算符：

　　& 按位与  　　| 按位或  　　^ 按位异或  　　~ 取反  　　<< 左移  　  >> 右移  

1. 按位与运算 按位与运算符"&"是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进位相与。只有对应的两个二进位均为1时，结果位才为1 ，否则为0。参与运算的数以补码方式出现。

    例如：9&5可写算式如下： 00001001 (9的二进制补码)&00000101 (5的二进制补码)  　　00000001 (1的二进制补码)可见9&5=1。  　　应用：  　　a. 清零特定位 (mask中特定位置0，其它位为1，s=s&mask)（mash是掩码）  　　b. 取某数中指定位 (mask中特定位置1，其它位为0，s=s&mask)  

2. 按位或运算 按位或运算符“|”是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进位相或。只要对应的二个二进位有一个为1时，结果位就为1。参与运算的两个数均以补码出现。

　　例如：9|5可写算式如下：  　　00001001|00000101  　　00001101 (十进制为13)可见9|5=13  　　应用：  　　常用来将源操作数某些位置1，其它位不变。 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s|mask)  

3. 按位异或运算 按位异或运算符“^”是双目运算符。其功能是参与运算的两数各对应的二进位相异或，当两对应的二进位相异时，结果为1。参与运算数仍以补码出现。

    例如9^5可写成算式如下：  　　00001001^00000101 00001100 (十进制为12)  　　应用：  　　a. 使特定位的值取反 (mask中特定位置1，其它位为0 s=s^mask)  　　b. 不引入第三变量，交换两个变量的值 (设 a=a1,b=b1)  　　目 标         操 作    操作后状态  　　a=a1^b1     a=a^b    a=a1^b1,b=b1  　　b=a1^b1^b1  b=a^b    a=a1^b1,b=a1  　　a=b1^a1^a1  a=a^b    a=b1,b=a1  

4. 求反运算 求反运算符～为单目运算符，具有右结合性。 其功能是对参与运算的数的各二进位按位求反。

    例如～9的运算为： ~(0000000000001001)结果为：1111111111110110  

5. 左移运算 左移运算符“<<”是双目运算符。其功能把“<< ”左边的运算数的各二进位全部左移若干位，由“<<”右边的数指定移动的位数， 高位丢弃，低位补0。 其值相当于乘2。

    例如： a<<4 指把a的各二进位向左移动4位。如a=00000011(十进制3)，左移4位后为00110000(十进制48)。  

6. 右移运算 右移运算符“>>”是双目运算符。其功能是把“>> ”左边的运算数的各二进位全部右移若干位，“>>”右边的数指定移动的位数。其值相当于除2。

●例题分析

在这里列举位运算的常见应用：

(1) 判断奇偶：a&1 = 0 偶数，a&1 = 1 奇数。

(2) 取int型变量a的第k位 (k=0,1,2……sizeof(int))，即a>>k&1

(3) 将int型变量a的第k位清0，即a=a&~(1 <<k)

(4) 将int型变量a的第k位置1， 即a=a |(1 <<k)

(5) int型变量循环左移k次，即a=a < <k |a>>16-k (设sizeof(int)=16)

(6) int型变量a循环右移k次，即a=a>>k |a < <16-k (设sizeof(int)=16)

(7)整数的平均值

对于两个整数x,y，如果用 (x+y)/2 求平均值，会产生溢出，因为 x+y 可能会大于INT_MAX，但是我们知道它们的平均值是肯定不会溢出的，我们用如下算法：

int average(int x, int y) //返回X,Y 的平均值  {       return (x&y)+((x^y)>>1);  }  

(8)判断一个整数是不是2的幂：

boolean power2(int x)  {      return ((x&(x-1))==0)&&(x!=0)；  }  

(9)不用temp交换两个整数

void swap(int x , int y)  {      x ^= y;      y ^= x;      x ^= y;  }  

(10)计算绝对值

int abs( int x )  {     int y ;     y = x >> 31 ;     return (x^y)-y ; //or: (x+y)^y  }  

(11)取模运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下): a % (2^n) 等价于 a & (2^n - 1)

(12)乘法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下):a * (2^n) 等价于 a << n

(13)除法运算转化成位运算 (在不产生溢出的情况下):a / (2^n) 等价于 a>> n

(14) a % 2 等价于 a & 1

(15) if (x == a) x= b; else x= a;等价于 x= a ^ b ^ x;

(16) x 的 相反数 表示为 (~x+1)

位运算在题目中经常用到，例如利用二进制枚举的题目，状态压缩DP等用到了位运算。

1.5 中国剩余定理
●知识精讲

这个问题源自于我国数学古书《孙子算经》中的一道问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？”意思是一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数(满足条件且最小)。

做法是:

 n%3=2,n%5=3,n%7=2且3，5，7互质   找到使(5×7)的倍数模3得1的数，答案是70   找到使(3×7)的倍数模5得1的数，答案是21   找到使(3×5)的倍数模7得1的数，答案是15   那么(70×2+21×3+15×2) % (3×5×7) = 23,23就是最终答案了  

理解如下：

70×2 = 140,当中的2是指n%3 = 2的2,因为70%3=1，乘2后使其能满足%3=2的条件,同理，  21×3使其能满足%5=3  15×2使其能满足%7=2  又70能整除5和7，21能整除3和7,15能整除3和5  因此70×2+21×3+15×2 = 233能满足%3=2,%5=3,%7=2的条件  将233对3×5×7=105取模，是为了取得最小的情况，因为105是能够同时整除3，5，7的数，如果减去，对该数满足%3=2，%5=3，%7=2没有影响。因此对105取模，得到的结果便是最小并满足条件的数  

拓展开来问题就是有同余方程组 a = ai (mod ni)， 求未知数a。 方法是:

定义 n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质  mi = n1*n2*...nk / ni;     ci = mi(mf  mod ni);     其中 mi*mf  mod ni = 1;  则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck) (mod n)   

中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:

          mi*mf  mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;  

这里的中国剩余定理必须要求除数是互质的，但是有些题目的同余方程式除数并不互质，那么将不能使用传统的中国剩余定理

●例题分析

问题描述：POJ 1006

人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。

问题分析：

这一题的做法可以类比算经中问题的方法

找到使(23×28)的公倍数模33得1的数，答案是1288

找到使(23×33)的公倍数模28得1的数，答案是14421|

找到使(28×33)的公倍数模23得1的数，答案是5544

(5544×p+14421×e+1288×i) % (23×28×33) = ans + d

若使用中国剩余定理的一般情况下的处理，则可按照一般情况的方法写出程序，参考核心程序为：

     int mod[3],res[3];//除数，余数  

     void exGCD(int a,int b,int &x,int &y)//扩展欧几里得   

     {     

           if (b==0)

           {        

               x = 1;

               y = 0;

               return;     

            }     

            exGCD(b,a%b,x,y);     

            int temp = x;     

            x = y;     

            y = temp-a/b*y;  

    }    

     int china_mod()//中国剩余定理   

     {      

          int mul=1,ans=0,mf,y,mi;      

          for (int i=0; i<3; i++)         

              mul *= mod[i];      

          for (int i=0; i<3; i++)

          {       

               mi = mul/mod[i];       

               exGCD(mi,mod[i],mf,y);      

               ans += (mi*mf*res[i])%mul;      

           }      

          return (ans+mul)%mul;  

     }