组合数学之递推关系(一)定义及几个经典例子

本文介绍了递推关系的基本概念,并通过具体实例讲解了如何利用递推关系解决实际问题,包括平面分区、汉诺塔问题、斐波那契数列等。

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说明

本文参考了组合数学课件,精简整理了一下内容并谈谈自己的理解


定义

设{anan}为一序列,把该序列中anan和它前面几个aiai (0≤i≤n)关联起来的方程称做一个递推关系(递归关系)。
类似于a0a0=1,a1a1=1的叫做初值
初值+递推关系=带初值的递推关系
说白了就是用前面推出来的值推出当前值,然后再推出后面的值的一个递推式,和dp的递推式差不多。

经典例子

1.在一个平面上有一个圆和n条直线,这些直线中的每一条在圆内都同其他的直线相交。如果没有多于三条的直线相交于一点,试问这些直线将圆分成多少个不同区域?

这里写图片描述
设这n条直线将圆分成的区域数为 anan ,如果有n-1条直线将圆分成an1an−1个区域,那么再加入第n条直线与在圆内的其他n-1条直线相交。显然,这条直线在圆内被分成n条线段,而每条线段又将第n条直线在圆内经过的区域分成两个区域。这样,加入第n条直线后,圆内就增加了n个区域。而对于n=0,显然有a0a0=1,所以有如下递推公式:
an=an1+n(n>=1)an=an−1+n(n>=1)
a0=1a0=1
展开可以看出类似等差数列,化简后得:
an=n(n+1)+22an=n∗(n+1)+22

2.“Hanoi塔”问题:n个大小不一的圆盘依半径的大小,从下而上的套在柱子A上。如图所示。现要求将所有的圆盘从柱子A上全部移到柱子C上,每次只允许从一根柱子上转移一个圆盘到另一根柱子上,且在转移过程中不允许出现大圆盘放到小圆盘上。试问至少要转移多少次才能将柱子上的n个圆盘全部转移到柱子C上去?

anan表示从一根柱子上的nn个圆盘全部转移到另一根柱子上的转移次数。显然,a1=1,a2=3a2=3。当n3n≥3时,要将柱子A上的nn个圆盘转移到柱子C上,可以这样设想。先把柱子A上的n1个圆盘转移到柱子B上,这需要转移an1an−1次;然后把柱子A上最后一个圆盘转移到柱子C上,显然这需要转移一次;最后再把柱子B上的n-1个圆盘转移到柱子C上,这也需要转移an1an−1次。到此时转移完毕,一共转移了2an1+12an−1+1次。于是可以建立如下带初值的递推关系:
an=2an1+1(n>=2)an=2an−1+1(n>=2)
a1=1a1=1

3.“Fibonacci兔子问题”也是组合数学中的著名问题之一。这个问题是指:从某一年某一月开始,把雌雄各一的一对兔子放入养殖场中,从第二个月雌兔每月产雌雄各一的一对新兔。每对新兔也是从第二个月起每月产一对兔子。试问第n个月后养殖场中共有多少对兔子?

设第nn个月时养殖场中兔子的对数为Fn。并定义F0=1F0=1,显然有,F1=1F1=1
由于在第nn个月时,除了有第n1个月时养殖场中的全部兔子Fn1Fn−1外,还应该有Fn2Fn−2对新兔子,这是因为在第n2n−2个月就已经有的每对兔子,在第nn个月里都应生一对新的兔子。因此可以建立如下带初值的递推关系.
Fn=Fn1+Fn2
F0=F1=1F0=F1=1
该数列即为Fibonacci数列

5.在一个平面中,有n个圆两两相交,但任二个圆不相切,任三个圆无公共点,求这n个圆把平面分成多个区域?

这里写图片描述
设这nn个圆将平面分成an个区域。易知,a1=2,a2=4a1=2,a2=4
现在假设前n1n−1个圆将平面分成了an1an−1个区域,当加入第nn个圆(虚线圆)时,由题设这个圆与前面的n1个圆一定交于2(n1)2(n−1)个点,这2(n1)2(n−1)个点把第n个圆分成2(n1)2(n−1)条弧,而每条弧正好将前面的n1n−1个圆分成的区域中的其经过的每个区域分成22个区域,故新加入的第n个圆使所成的区域数增加了2(n1)2(n−1) 。因此可以建立如下带初值的递推关系:
an=an1+2(n1)an=an−1+2(n−1)
a1=2a1=2

5.设有nn个数b1,b2,...,bn的连乘积为b1×b2×...×bnb1×b2×...×bn。试求不同的结合方式数(加括号的方式)。

设不同的结合方式数为anan。定义a1=1a1=1,显然有a2=1a2=1
由于对乘积b1×b2××bnb1×b2×…×bn的任一结合方式,必有某一个k使得最后的运算为积b1×b2××bkb1×b2×…×bk与积bk+1×bk+2××bnbk+1×bk+2×…×bn相乘。当k 固定时,对乘积b1×b2××bkb1×b2×…×bkakak 种不同的结合方式,而对乘积bk+1×bk+2××bnbk+1×bk+2×…×bnankan−k 种不同的结合方式。由乘法法则知,对某一个kk共有akank 种不同的结合方式。再由加法法则即得如下带初值的递推关系:
an=n1k=1akankan=∑k=1n−1ak∗an−k
a1=1,a2=1a1=1,a2=1

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