对组合数递推式的思考

组合数递推式为：

$$C_n^k=\frac {n-k+1} k C_n^{k-1}$$
它可以很明显的用组合数公式证明，但是它的“实际意义”却并不明显。为了更好的理解该公式，本文对该公式进行解释。

为了更好理解，我们写出组合数递推式的等价形式：

$$C_n^{k+1}=\frac {n-k} {k+1} C_n^{k}$$
我们知道组合数 $C_n^k$ 表示 $n$ 个不同元素中选出 $k$ 个元素的方法数。

1. 我们如果已知 $C_n^k$ 的值，每个被选中的 $k$ 个元素的组合，添加一个没有被选中的元素（没有被选中的元素个数为 $n-k$ ）,这样就得到了 $(n-k)C_n^k$ （这样每个组合中有 $k+1$ 个元素）。

2. 但是这样选出的组合中有重复出现，例如形成的 $k+1$ 个元素的组合 $a_1,a_2,...,a_k,a_{k+1}$ ，可能是

   • $a_1$ 添加了 $a_2,a_3,...,a_k,a_{k+1}$ 形成的
   • $a_2$ 添加了 $a_1,a_3,...,a_k,a_{k+1}$ 形成的
     …
   • $a_k$ 添加了 $a_1,a_2,...,a_{k-1},a_{k+1}$ 形成的
   • $a_{k+1}$ 添加了 $a_1,a_,2...,a_{k-1},a_{k}$ 形成的

这样对于每一个 $k+1$ 个元素的组合重复计数了 $k$ 次，所以需要除以 $k+1$ ，得到 $C_n^{k+1}=\frac {n-k} {k+1} C_n^{k}$ 。