斜率DP优化

因为NOIP到来开始狂补算法，不知道要不要考斜率DP优化。
PS:以下出现sum表示前缀和

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斜率优化主要优化与线性DP，一般的线性DP，转移方程：
$f[i]=min(f[j]+sum[i]-sum[j])$
$f[i]=min(f[j]+a[j]+a[i])$
这类线性DPi和j都可以分开计算，所以直接使用线段树，单调栈/单调队列，堆等数据结构快速优化，但是也有这么一类转移方程，i和j都有相乘这类关系，如：
$f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j])^2)+M)$
这种方程就不能用普通的方法优化了，需要用到斜率优化。
PS:假设这里的数都为正数，即sum数组递增

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如果对于i转移的时候，有j比k更优$k<j<i$，则

$f[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M<f[k]+(sum[i]-sum[k])^2+M$
$f[j]+sum[j]^2-2sum[i]*sum[j]<f[k]+sum[k]^2-2sum[i]*sum[k]$
$f[j]+sum[j]^2-(f[k]+sum[k]^2)<2sum[i]*(sum[j]-sum[k])$
$\frac{f[j]+sum[j]^2-(f[k]+sum[k]^2)}{2*sum[j]-2*sum[k]}<sum[i]$

令$X(i)=2sum[i],Y(i)=f[i]+sum[i]^2$，则

$\frac{Y(j)-Y(k)}{X(j)-X(k)}<sum[i]$

所以……这就是斜率呀。

又令$K(i,j)=\frac{Y(j)-Y(i)}{X(j)-X(i)}$，则$K(k,j)<sum[i]$

所以对于i来说j比k优秀，那么我们可以在求f[i]的时候干掉k了，因为k不会再次优秀。

接下来还可以推一个结论 $K(k,j)≥K(j,i)$→ j 不会或没必要出现在最优解中，为什么呢？

1.$K(j,i)<sum[i]$ ，那么对 i 来说， i 比 j 优秀，由于sum递增，所以 i 将一直比 j 优秀。
2.$K(j,i)≥sum[i]$ ，那么 K(k,j)≥K(j,i)≥sum[i] ，即对 i 来说， k 比 j 优秀，由于sum递增，所以 k 将一直比 j 优秀。

所以队列中的候选最优解一定满足 $K(que[i−1],que[i])<K(que[i],que[i+1])(hed<i<ti)$ ，即斜率递增。

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所以最后到底怎么做：
1.判断$K(que[hed],que[hed+1])<sum[i]$，有的话hed++；
2.que[hed]是最优政策，求f[i]
3.判断$K(que[til-1],que[til])>=K(que[til],i)$，有的话til–；
4.$que[++til]=i;$
真的有这道题，HDU 3507 HDU貌似挂了，挂个vjudge的链接

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,que[500005];
LL sum[500005],f[500005];
inline void readi(int &x){
    x=0; char ch=getchar();
    while ('0'>ch||ch>'9') ch=getchar();
    while ('0'<=ch&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
}
LL getX(const int i,const int j){return 2*sum[j]-2*sum[i];}
LL getY(const int i,const int j){return f[j]+sum[j]*sum[j]-f[i]-sum[i]*sum[i];}
void _work(){
    int hed=1,til=1;
    memset(f,63,sizeof(f)); f[0]=sum[0]=que[1]=0;
    for (int i=1,x;i<=n;i++){
        readi(x); sum[i]=sum[i-1]+x;
        while (hed<til&&getY(que[hed],que[hed+1])<getX(que[hed],que[hed+1])*sum[i]) hed++;
        f[i]=f[que[hed]]+(sum[i]-sum[que[hed]])*(sum[i]-sum[que[hed]])+m;
        while (hed<til&&getY(que[til-1],que[til])*getX(que[til],i)>=getX(que[til-1],que[til])*getY(que[til],i)) til--;
        que[++til]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
}
int main()
{
    freopen("printer.in","r",stdin);
    freopen("printer.out","w",stdout);
    while (scanf("%d%d",&n,&m)==2) _work();
    return 0;
}

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注意$K(k,j)<sum[i]$，其中右边的sum[i]这个值是保证递增的，这样才可以直接用单调序列，如果不递增……
二分？splay？cdq分治？反正都不会用