2017-03-11 [IOI2002]任务安排

Description

N个任务排成一个序列在一台机器上等待完成（顺序不得改变），这N个任务被分成若干批，每批包含相邻的若干任务。从时刻0开始，这些任务被分批加工，第i个任务单独完成所需的时间是Ti。在每批任务开始前，机器需要启动时间S，而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和（同一批任务将在同一时刻完成）。每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数Fi。请确定一个分组方案，使得总费用最小。
例如：S=1；T={1,3,4,2,1}；F={3,2,3,3,4}。如果分组方案是{1,2}、{3}、{4,5}，则完成时间分别为{5,5,10,14,14}，费用C={15,10,30,42,56}，总费用就是153。

Input

第一行是N(1＜=N＜=5000)。
第二行是S(0＜=S＜=50)。
下面N行每行有一对数，分别为Ti和Fi，均为不大于100的正整数，表示第i个任务单独完成所需的时间是Ti及其费用系数Fi。

Output

一个数，最小的总费用。

Sample Input

5
1
1 3
3 2
4 3
2 3
1 4

Sample Output

153

Source

动态规划 ，斜率优化

Solution

用dp[i]表示完成i..n任务的最小费用。
但是计算的时候并不知道前面的时间，于是可以改变计算的方式。
对于某一批任务来说，他和他后面的所有任务都要承受这一段时间，于是可以把这部分费用不放在之前算，而放在这里一起算。
设sf和st分别为f和t的后缀和。
dp[i]=min{dp[j]+sf[i]*(st[i]-st[j]+s)}
即计算的是i..j-1这一段任务对之后造成的影响。
Blog: http://blog.youkuaiyun.com/sdfzyhx/article/details/51994894

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;
ll t[5010],f[5010],dp[5010];
ll st[5010],sf[5010];
int main ()
{
  memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
  int n,s;
  scanf("%d%d",&n,&s);
  for (int i=1;i<=n;++i)
  {
    scanf("%lld%lld",&t[i],&f[i]);
    st[i]=st[i-1]+t[i];
    sf[i]=sf[i-1]+f[i];
  }
  //倒推时，sf和st是后缀值，即计算的是i..j-1这一段任务对之后造成的影响
  /*
  dp[n+1]=0;
  for(int i=n;i;i--)
    for(int j=i+1;j<=n+1;j++)
      dp[i]=min(dp[i],dp[j]+sf[i]*(st[i]-st[j]+s));
  cout<<dp[1]<<endl;
  */
  //正推，计算对之前的影响
  dp[0]=0;
  for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=0;j<i;++j)
      // dp[i]=min(dp[i],dp[j]+st[i]*(sf[i]-sf[j])+s*(sf[n]-sf[j]));
      /*等于*/dp[i]=min(dp[i],dp[j]+(st[i]+s)*(sf[i]-sf[j])+s*(sf[n]-sf[i]));
      printf("%lld\n",dp[n]);
  return 0;
}

暴力解法n3方的也有80分噢，枚位置，段数，和状态