题解 斜率优化经典题 任务安排*6

任务安排

部分表述来源于《算法竞赛进阶指南》。

题面

题目描述

$n$ 个任务排成一个序列在一台机器上等待完成（顺序不得改变），这 $n$ 个任务被分成若干批，每批包含相邻的若干任务。

从零时刻开始，这些任务被分批加工，第 $i$ 个任务单独完成所需的时间为 $t_i$ 。在每批任务开始前，机器需要启动时间 $s$，而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和（同一批任务将在同一时刻完成）。

每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数 $c_i$。请确定一个分组方案，使得总费用最小。

输入格式

第一行一个正整数 $n$。
第二行是一个整数 $s$。

下面 $n$ 行每行有一对数，分别为 $t_i$ 和 $c_i$，表示第 $i$ 个任务单独完成所需的时间是 $t_i$ 及其费用系数 $f_i$。

输出格式

一个数，最小的总费用。

输入输出样例

输入 #1

5
1
1 3
3 2
4 3
2 3
1 4

输出 #1

153

样例解释

如果分组方案是 { 1 , 2 } , { 3 } , { 4 , 5 } \{1,2\},\{3\},\{4,5\} { 1,2},{ 3},{ 4,5}，则完成时间分别为 { 5 , 5 , 10 , 14 , 14 } \{5,5,10,14,14\} { 5,5,10,14,14}，费用 $C=15+10+30+42+56$，总费用就是 $153$。

任务安排 1（$O(n^3)$）

数据范围：$1\le n\le 100,1\le s\le 50,1\le t_i,c_i\le 100$。

求出 $t,c$ 的前缀和 $sumt,sumc$，设 $f_{i,j}$ 表示把前 $i$ 个任务分成 $j$ 批的最小费用，则第 $j$ 批任务完成的时间为 $j\ast s+sum{t}_i$，状态转移方程：
f i , j = min ⁡ 0 ≤ k < i { f k , j − 1 + ( j ∗ s + s u m t i ) ( s u m c i − s u m c k ) } f_{i,j}=\min_{0\leq k < i}\{f_{k,j-1}+(j*s+sumt_i)(sumc_i-sumc_k)\} fi,j​=0≤k<imin​{ fk,j−1​+(j∗s+sumti​)(sumci​−sumck​)}

任务安排 2（$O(n^2)$）

数据范围：$1\le n\le 5000,$