37、量子算法复杂度与量子Brudno定理解读

量子算法复杂度与量子Brudno定理解读

1. 量子操作近似与误差控制

在量子计算中，机器往往无法精确应用所需的变换 $U$，而只能使用其近似 $\tilde{U}$。但 $\tilde{U}$ 只是近似酉的，机器只能进行酉操作，所以会应用另一个接近 $\tilde{U}$ 从而接近 $U$ 的酉变换 $V$，使得 $|V - U| < \delta$。设 $|\psi\rangle := U|\psi_0\rangle$ 是期望的输出，$|\varphi\rangle := V|\psi_0\rangle$ 是机器实际计算的近似输出，此时范数和迹距离都很小，即 $||\varphi\rangle - |\psi\rangle| < \delta$，$D(|\varphi\rangle\langle\varphi|, |\psi\rangle\langle\psi|) < \delta$。

2. 量子比特复杂度的定义

• 有限精度量子复杂度 ：对于量子图灵机 $U$ 和量子比特串 $\rho \in B_1^+(H_F)$，有限精度量子复杂度 $QC_{\delta}^U(\rho)$ 定义为所有量子程序 $\sigma \in B_1^+(H_F)$ 的最小长度 $\ell(\sigma)$，使得相应的输出 $U(\sigma)$ 与 $\rho$ 的迹距离小于 $\delta$，即 $QC_{\delta}^U(\rho) := \min{\ell(\sigma) : D(\rho, U(\sigma)) \leq \delta}$。
• 近似方案量子复杂度