位运算之 -- 按位与(&)操作 -- 快速取模算法

最新推荐文章于 2022-08-16 17:04:03 发布

转载最新推荐文章于 2022-08-16 17:04:03 发布 · 2.8k 阅读

C/C++ 专栏收录该内容

151 篇文章

订阅专栏

本文介绍了位运算的基本概念及其在编程中的多种实用技巧，包括快速判断整数范围、奇偶性、是否为2的幂、统计二进制中1的个数等，并详细解释了快速幂取模算法。

由于位运算直接对内存数据进行操作，不需要转成十进制，因此处理速度非常快。

按位与（Bitwise AND），运算符号为&

a&b 的操作的结果：a、b中对应位同时为1，则对应结果位也为1、

例如：

10010001101000101011001111000

& 111111100000000

---------------------------------------------

10101100000000

对10101100000000进行右移8位得到的是101011，这就得到了a的8~15位的掩码了。那么根据这个启示，判断一个整数是否是处于 0-65535 之间（常用的越界判断）：

用一般的 (a >= 0) && (a <= 65535) 可能要两次判断。

改用位运算只要一次：

a & ~((1<< 16)-1)

后面的常数是编译时就算好了的。其实只要算一次逻辑与就行了。

常用技巧：

用于整数的奇偶性判断

一个整数a, a&1 这个表达式可以用来判断a的奇偶性。二进制的末位为0表示偶数，最末位为1表示奇数。

使用 a%2 来判断奇偶性和 a&1 是一样的作用，但是 a&1 要快好多。

判断n是否是2的正整数冪

(!(n&(n-1)) )&& n

举个例子：

如果n = 16 = 10000， n-1 = 1111

那么：

10000

& 1111

----------

再举一个例子：如果n = 256 = 100000000， n-1 = 11111111

那么：

100000000

& 11111111

--------------

好！看完上面的两个小例子，相信大家都有一个感性的认识。从理论上讲，如果一个数a他是2的正整数幂，那么a 的二进制形式必定为1000…..（后面有0个或者多个0），那么结论就很显然了。

统计n中1的个数

朴素的统计办法是：先判断n的奇偶性，为奇数时计数器增加1，然后将n右移一位，重复上面步骤，直到移位完毕。

朴素的统计办法是比较简单的，那么我们来看看比较高级的办法。

举例说明：

考虑2位整数 n=11，里边有2个1，先提取里边的偶数位10，奇数位01，把偶数位右移1位，然后与奇数位相加，因为每对奇偶位相加的和不会超过“两位”，所以结果中每两位保存着数n中1的个数；

相应的如果n是四位整数 n=0111，先以“一位”为单位做奇偶位提取，然后偶数位移位（右移1位），相加；

再以“两位”为单位做奇偶提取，偶数位移位（这时就需要移2位），相加，因为此时没对奇偶位的和不会超过“四位”，所以结果中保存着n中1的个数，依次类推可以得出更多位n的算法。整个思想类似分治法

在这里就顺便说一下常用的二进制数：

0xAAAAAAAA=10101010101010101010101010101010

0x55555555 = 1010101010101010101010101010101（奇数位为1，以1位为单位提取奇偶位）

0xCCCCCCCC = 11001100110011001100110011001100

0x33333333 = 110011001100110011001100110011（以“2位”为单位提取奇偶位）

0xF0F0F0F0 = 11110000111100001111000011110000

0x0F0F0F0F = 1111000011110000111100001111（以“8位”为单位提取奇偶位）

0xFFFF0000 =11111111111111110000000000000000

0x0000FFFF = 1111111111111111（以“16位”为单位提取奇偶位）

例如：32位无符号数的1的个数可以这样数：

int count_one(unsigned long n)
{
//0xAAAAAAAA，0x55555555分别是以“1位”为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555);

//0xCCCCCCCC，0x33333333分别是以“2位”为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333);

//0xF0F0F0F0，0x0F0F0F0F分别是以“4位”为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F);

//0xFF00FF00，0x00FF00FF分别是以“8位”为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xFF00FF00) >> 8) + (n & 0x00FF00FF);

//0xFFFF0000，0x0000FFFF分别是以“16位”为单位提取奇偶位
n = ((n & 0xFFFF0000) >> 16) + (n & 0x0000FFFF);

return n;
}

举个例子吧，比如说我的生日是农历2月11，就用211吧，转成二进制：

n = 11010011

计算n = ((n & 0xAAAAAAAA) >> 1) + (n & 0x55555555);

得到 n = 10010010

计算n = ((n & 0xCCCCCCCC) >> 2) + (n & 0x33333333);

得到 n = 00110010

计算n = ((n & 0xF0F0F0F0) >> 4) + (n & 0x0F0F0F0F);

得到 n = 00000101 -----------------à无法再分了，那么5就是答案了。

对于正整数的模运算（注意，负数不能这么算）

先说下比较简单的：

乘除法是很消耗时间的，只要对数左移一位就是乘以2，右移一位就是除以2，传说用位运算效率提高了60%。

乘2^k众所周知： n<<k。所以你以后还会傻傻地去敲2566*4的结果10264吗？直接2566<<4就搞定了，又快又准确。

除2^k众所周知： n>>k。

那么 mod 2^k 呢？（对2的倍数取模）

n&((1<<k)-1)

用通俗的言语来描述就是,对2的倍数取模，只要将数与2的倍数-1做按位与运算即可。

好！方便理解就举个例子吧。

思考：如果结果是要求模2^k时，我们真的需要每次都取模吗？

在此很容易让人想到快速幂取模法。

快速幂取模算法

经常做题目的时候会遇到要计算 a^b mod c 的情况，这时候，一个不小心就TLE了。那么如何解决这个问题呢？位运算来帮你吧。

首先介绍一下秦九韶算法：(数值分析讲得很清楚)

把一个n次多项式f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+......+a[1]x+a[0]改写成如下形式：

　　f(x) = a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+......+a[1]x+a[0]

　　= (a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+......+a[1])x+a[0]

　　= ((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+......+a[2])x+a[1])x+a[0]

　　=. .....

　　= (......((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+......+a[1])x+a[0].

　　求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即

　　v[1]=a[n]x+a[n-1]

　　然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

　　v[2]=v[1]x+a[n-2]

　　v[3]=v[2]x+a[n-3]

　　......

　　v[n]=v[n-1]x+a[0]

这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。

好！有了前面的基础知识，我们开始解决问题吧

由(a ×b) mod c=( (a mod c) × b) mod c.

我们可以将 b先表示成就：

b = a[t] × 2^t + a[t-1]× 2^(t-1) + …… + a[0] × 2^0. (a[i]=[0,1]).

这样我们由 a^b mod c = (a^(a[t] × 2^t + a[t-1]× 2^（t-1） + …a[0] × 2^0) mod c.

然而我们求 a^( 2^(i+1) ) mod c=( (a^(2^i)) mod c)^2 mod c .求得。

具体实现如下：

使用秦九韶算法思想进行快速幂模算法，简洁漂亮

// 快速计算 (a ^ p) % m 的值
__int64 FastM(__int64 a, __int64 p, __int64 m)
{
if (p == 0) return 1;
__int64 r = a % m;
__int64 k = 1;
while (p > 1)
{
if ((p & 1)!=0)
{
k = (k * r) % m;
}
r = (r * r) % m;
p >>= 1;
}
return (r * k) % m;
}

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3070

计算掩码

比如一个截取低6位的掩码：0×3F
用位运算这么表示：(1<< 6) - 1
这样也非常好读取掩码，因为掩码的位数直接体现在表达式里。

按位或运算很简单，只要a和b中相应位出现1，那么a|b的结果相应位也为1。就不多说了。

子集

　　枚举出一个集合的子集。设原集合为mask，则下面的代码就可以列出它的所有子集：

　　for (i = mask ; i ; i = (i - 1) & mask) ;