12、代数几何入门：从基础概念到奇点解析

代数几何入门：从基础概念到奇点解析

1. 代数几何概述

代数几何是一个研究代数集和流形等对象的数学领域。在代数几何中，流形就像一个地球仪，由许多局部地图（开集）组成。每个开集都与相同维度的欧几里得空间的开集存在一一对应关系，这使得我们能够定义局部变量和局部坐标。奇点解析，也称为爆破（blow - ups），是将包含奇点的局部坐标更新为其他局部坐标的过程。渡边 - 贝叶斯理论旨在为每个局部坐标获得一种称为正常交叉（normal crossing）的标准形式。在常规情况下，参数的维度 (d) 是一般情况下实对数阈值 (\lambda) 的两倍，而 (\lambda) 的值可以通过解析奇点来获得。需要注意的是，奇点解析与渡边 - 贝叶斯理论并没有直接关系，这一点在渡边 - 贝叶斯理论中常常被误解。基于广光定理，无论是否存在奇点，在每个局部坐标中，我们都将平均对数似然转换为正常交叉形式。

对于初次学习代数几何的读者来说，如果对内容不太理解，建议慢慢阅读每个章节中的公式，并尝试自己书写。如果仍然不理解，可以在接下来的几天里重复阅读。

2. 代数集与解析集

• 理想的定义 ：设 (x=(x_1,\cdots,x_d))，我们用 (R[x_1,\cdots,x_d]) 或 (R[x]) 表示实系数多项式的集合。对于 (R[x]) 的非空子集 (J)，定义集合 (I={\sum_{i}f_i(x)g_i(x)|f_i(x)\in J,g_i(x)\in R[x]}) 为 (R[x_1,\cdots,x_d]) 的理想，称集合 (J) 生成理想 (I)。
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