66、因子分析与自编码器技术详解

最新推荐文章于 2025-11-07 20:44:17 发布

time3

最新推荐文章于 2025-11-07 20:44:17 发布

阅读量41

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：概率机器学习入门精要文章标签：因子分析自编码器 EM算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/time3/article/details/151315433

概率机器学习入门精要专栏收录该内容

91 篇文章 ¥499.90

订阅专栏¥69.90

会员秒杀 ¥9.9 重磅福利

超级会员免费看

因子分析与自编码器技术详解

1. 因子分析的EM算法

因子分析中，EM算法是一个重要的工具。它分为E步和M步：
- E步：$\tilde{Z} = (W^T W)^{-1}W^T \tilde{X}$
- M步：$W = \tilde{X}\tilde{Z}^T (\tilde{Z}\tilde{Z}^T)^{-1}$

有研究表明，EM算法唯一稳定的不动点就是全局最优解，即该算法会收敛到一个解，使得$W$与前$L$个特征向量所定义的线性子空间相同。不过，如果希望$W$是正交的，并且按特征值降序包含特征向量，就需要对结果矩阵进行正交化处理。

在$D = 2$且$L = 1$的情况下，该算法有一个简单的物理类比。可以想象在$\mathbb{R}^2$中有一些点通过弹簧连接到一根刚性杆上，杆的方向由向量$w$定义。在E步，固定杆，让连接点滑动以最小化弹簧能量（与残差平方和成正比）；在M步，固定连接点，让杆旋转以最小化弹簧能量。

EM算法用于PCA的优势

与特征向量方法相比，EM算法用于PCA有以下优势：
1. 速度更快 ：假设$N, D \gg L$，EM算法的主要成本在于E步的投影操作，总体时间复杂度为$O(TLND)$，其中$T$是迭代次数。实验表明，迭代次数通常很少（平均为3.6），远快于简单特征向量方法所需的$O(\min(ND^2, DN^2))$时间，不过一些更复杂的特征向量方法，如Lanczos算法，运行时间与EM算法相当。
2. 可在线实现 ：可以随着数据流的到来更新$W$的估计值。
3. 处理缺失数据简单 ：能以简单的方式处理缺失数据。
4. 可扩展 ：可扩展用于处理PPCA/FA模型的混合。
5. 可修改 ：可修改为变分EM或变分贝叶斯EM以拟合更复杂的模型。

2. 因子分析模型参数的不可识别性

因子分析模型的参数是不可识别的。考虑一个具有权重$W$和观测协方差$\Psi$的模型，其协方差为$Cov [x] = WW^T + \Psi$。现在考虑另一个模型，其权重$\tilde{W} = WR$，其中$R$是任意正交旋转矩阵，满足$RR^T = I$，这个模型具有相同的似然，因为$Cov [x] = \tilde{W}E[zz^T] \tilde{W}^T + E[\epsilon\epsilon^T] = WRR^T W^T + \Psi = WW^T + \Psi$。

从几何角度看，将$W$乘以正交矩阵就像在生成$x$之前旋转$z$，但由于$z$是从各向同性高斯分布中抽取的，这对似然没有影响。因此，无法唯一识别$W$，也就无法唯一识别潜在因子。

为了打破这种对称性，可以采用以下几种方法：
1. 强制$W$具有正交列 ：这是PCA采用的方法，得到的后验估计在潜在维度的排列上是唯一的。
2. 强制$W$为下三角矩阵 ：这是贝叶斯社区常用的方法，确保第一个可见特征仅由第一个潜在因子生成，第二个可见特征仅由前两个潜在因子生成，依此类推。但这种方法的缺点是前$L$个可见变量（创始人变量）会影响潜在因子的解释，需要谨慎选择。
3. 权重的稀疏促进先验 ：使用$\ell_1$正则化、ARD或尖峰 - 平板先验来鼓励$W$中的元素为零，这称为稀疏因子分析，虽然不一定能确保唯一的MAP估计，但能鼓励可解释的解。
4. 选择信息性旋转矩阵 ：有多种启发式方法尝试找到旋转矩阵$R$来修改$W$（从而修改潜在因子），以提高可解释性，例如varimax方法。
5. 使用非高斯先验 ：用非高斯分布替换潜在变量的先验$p(z)$，有时可以唯一识别$W$和潜在因子。

3. 非线性因子分析

传统的因子分析模型假设观测数据可以通过低维高斯因子的线性映射来建模。为了放松这一假设，可以让从$z$到$x$的映射为非线性模型，如神经网络，即模型变为$p(x) = \int dz N(x|f(w; \theta), \Psi)N(z|0, I)$，这就是非线性因子分析。

不幸的是，此时无法精确计算后验或最大似然估计，需要使用近似方法。变分自编码器是近似非线性FA模型最常用的方法。

4. 因子分析器的混合模型

因子分析模型假设观测数据可以通过低维高斯因子的线性映射来建模。为了放松这一假设，可以假设模型只是局部线性的，整体模型成为FA模型的（加权）组合，这就是因子分析器的混合模型（MFA）。

具体来说，设潜在指示变量$c_n \in {1, \ldots, K}$指定使用哪个子空间（聚类）来生成数据。如果$c_n = k$，则从高斯先验中采样$z_n$，通过$W_k$矩阵并添加噪声，其中$W_k$将$L$维子空间映射到$D$维可见空间。模型如下：
- $p(x_n|z_n, c_n = k, \theta) = N(x_n|\mu_k + W_k z_n, \Psi_k)$
- $p(z_n|\theta) = N(z_n|0, I)$
- $p(c_n|\theta) = Cat(c_n|\pi)$

在特殊情况下，当$\Psi_k = \sigma^2I$时，得到PPCA模型的混合。该模型可以看作是高斯混合模型的低秩版本，需要$O(KLD)$个参数，而不是全协方差高斯混合模型所需的$O(KD^2)$个参数，这可以减少过拟合。

图像生成应用

可以使用因子分析器的混合模型对CelebA数据集进行拟合，以生成人脸图像。使用$K = 1000$个组件，每个组件的潜在维度为$L = 10$，观测数据维度为$D = 64 \times 64 \times 3 = 12,288$。实验结果表明，这种简单的局部线性模型生成的图像效果令人惊讶，并且该模型比更复杂的生成模型（如VAEs和GANs）能捕获更多的数据分布模式，还可以计算精确的似然$p(x)$。

5. 指数族因子分析

到目前为止，我们假设观测数据是实值的，即$x_n \in \mathbb{R}^D$。如果要对其他类型的数据（如二进制或分类数据）进行建模，可以将高斯输出分布替换为指数族的合适成员，其中自然参数由$z_n$的线性函数给出，即$p(x_n|z_n) = \exp(t(x)^T\theta + h(x) - g(\theta))$，其中自然参数的$N \times D$矩阵由低秩分解$\Theta = ZW$给出，$Z$是$N \times L$矩阵，$W$是$L \times D$矩阵，得到的模型称为指数族因子分析。

与线性 - 高斯FA不同，由于指数族似然和高斯先验之间缺乏共轭性，无法精确计算后验$p(z_n|x_n, W)$，也无法计算精确的边际似然，这使得难以找到最优的最大似然估计。

有人提出了一种坐标上升方法用于该模型的确定性变体，即指数族PCA，它在计算$z_n$和$W$的点估计之间交替进行，可以看作是变分EM的退化版本。也有改进的算法可以找到全局最优解，但更倾向于使用该模型的概率版本，通过优化变分下界使用非退化分布（如高斯分布）来表示后验，以避免过拟合。

二进制PCA示例

考虑一个因式化的伯努利似然：$p(x|z) = \prod_d Ber(x_d|\sigma(w_d^T z))$。假设观察到$N = 150$个长度为$D = 6$的位向量，每个示例通过选择三个二进制原型向量之一，然后随机翻转位来生成。使用变分EM算法和JJ下界进行近似推理，使用$L = 2$个潜在维度来可视化潜在空间。可以将投影点分组为三个不同的簇，还可以计算数据的重建版本，通过对概率进行阈值处理得到“去噪”版本的数据。

分类PCA示例

可以将二进制PCA模型推广到处理分类数据，使用似然$p(x|z) = \prod_d Cat(x_d|S(W_d z))$，这就是分类PCA（CatPCA）。有一个变分EM算法用于拟合该模型，使用Bohning下界。

6. 配对数据的因子分析模型

当有两种配对的观测变量$x \in \mathbb{R}^{D_x}$和$y \in \mathbb{R}^{D_y}$时，可以使用线性 - 高斯因子分析模型。

监督PCA

在监督PCA中，使用共享的低维表示来建模联合分布$p(x, y)$，模型如下：
- $p(z_n) = N(z_n|0, I_L)$
- $p(x_n|z_n, \theta) = N(x_n|W_x z_n, \sigma_x^2 I_{D_x})$
- $p(y_n|z_n, \theta) = N(y_n|W_y z_n, \sigma_y^2 I_{D_y})$

可以将$z_n$边缘化得到$p(y_n|x_n)$。如果$y_n$是标量，则$p(y_n|x_n, \theta) = N(y_n|x_n^T v, w_y^T C w_y + \sigma_y^2)$，其中$C = (I + \sigma_x^{-2} W_x^T W_x)^{-1}$，$v = \sigma_x^{-2} W_x C w_y$。

为了应用于分类设置，可以使用监督ePCA，将高斯$p(y|z)$替换为逻辑回归模型。如果目标是通过潜在瓶颈$z$从$x$预测$y$，可以对$y$的似然项进行加权，即$p(X, Y, Z|\theta) = p(Y|Z, W_y)p(X|Z, W_x)^{\alpha}p(Z)$，其中$\alpha \leq 1$控制两个数据源建模的相对重要性，$\alpha$的值可以通过交叉验证选择。

偏最小二乘法

该模型的最大似然估计等价于偏最小二乘法（PLS）。

典型相关分析

在某些情况下，希望使用完全对称的模型来捕获$x$和$y$之间的依赖关系，同时允许特定领域或“私有”噪声源。通过引入仅用于$x_n$的潜在变量$z_x^n$、仅用于$y_n$的潜在变量$z_y^n$和共享的潜在变量$z_s^n$，整体模型在高斯情况下具有以下形式：
- $p(z_n) = N(z_s^n|0, I)N(z_x^n|0, I)$
- $p(x_n|z_n, \theta) = N(x_n|W_x z_s^n + B_x z_x^n, \sigma_x^2 I)$
- $p(y_n|z_n, \theta) = N(y_n|W_y z_s^n + B_y z_y^n, \sigma_y^2 I)$

将所有潜在变量边缘化后，得到可见变量的分布$p(x_n, y_n) = \int dz_n p(z_n)p(x_n, y_n|z_n) = N(x_n, y_n|\mu, WW^T + \sigma^2 I)$，其中$\mu = (\mu_x; \mu_y)$，$W = [W_x; W_y]$。该模型的最大似然估计等价于经典的统计方法 - 典型相关分析（CCA）。从概率图模型的角度可以轻松将其推广到多个观测类型（广义CCA）、非线性模型（深度CCA）或指数族CCA。

7. 自编码器

可以将PCA和因子分析看作是学习从$x$到$z$的（线性）映射（编码器$f_e$）和从$z$到$x$的（线性）映射（解码器$f_d$）的过程。自编码器在机器学习中有着广泛的应用，它可以学习数据的低维表示，用于数据压缩、特征提取等任务。

综上所述，因子分析及其相关模型在处理不同类型的数据和任务时具有强大的能力。从线性到非线性，从单一模型到混合模型，再到处理配对数据的模型，这些方法为数据分析和建模提供了丰富的工具。自编码器则进一步拓展了数据表示学习的能力，为更复杂的应用场景提供了可能。在实际应用中，需要根据数据的特点和任务的需求选择合适的模型和方法。

以下是这些模型和方法的关系流程图：

graph LR
    A[因子分析] --> B[EM算法]
    A --> C[非线性因子分析]
    A --> D[因子分析器的混合模型]
    A --> E[指数族因子分析]
    A --> F[配对数据的因子分析模型]
    F --> F1[监督PCA]
    F --> F2[偏最小二乘法]
    F --> F3[典型相关分析]
    G[自编码器] --> H[编码器fe]
    G --> I[解码器fd]
    A --> G

通过以上内容的介绍，我们可以更全面地了解因子分析和自编码器的相关知识，为实际应用提供指导。在后续的研究和实践中，可以进一步探索这些方法的改进和拓展，以应对不断变化的数据分析需求。

因子分析与自编码器技术详解

8. 自编码器的进一步探讨

自编码器作为一种强大的机器学习模型，其核心在于学习数据的高效表示。在前面提到，它可以看作是由编码器和解码器组成的系统。编码器将输入数据 $x$ 映射到低维的潜在空间 $z$，而解码器则将潜在空间中的表示 $z$ 重构回原始数据 $x$。

自编码器的训练目标通常是最小化重构误差，即输入数据和重构数据之间的差异。常见的重构误差度量包括均方误差（MSE）、交叉熵等。通过不断调整编码器和解码器的参数，使得重构误差尽可能小，自编码器能够学习到数据的内在结构和特征。

自编码器有多种变体，以适应不同的应用场景和数据特点。以下是一些常见的自编码器变体：
- 去噪自编码器（Denoising Autoencoder） ：在训练过程中，向输入数据添加噪声，然后让自编码器学习从噪声数据中重构出原始数据。这种方法可以增强自编码器的鲁棒性，使其能够学习到更本质的特征，而不仅仅是记忆输入数据。
- 变分自编码器（Variational Autoencoder，VAE） ：VAE 是一种生成式模型，它假设潜在空间中的表示 $z$ 服从某种概率分布（通常是高斯分布）。通过学习潜在空间的概率分布，VAE 不仅可以进行数据重构，还可以生成新的数据样本。VAE 的训练过程涉及最大化数据的对数似然的变分下界，这使得它在生成模型领域具有重要的应用。
- 稀疏自编码器（Sparse Autoencoder） ：通过在损失函数中添加稀疏性约束，使得编码器输出的大部分元素为零，从而学习到数据的稀疏表示。稀疏表示可以帮助提取数据的重要特征，减少冗余信息。

9. 因子分析与自编码器的比较

因子分析和自编码器虽然都用于数据的降维和特征提取，但它们在原理、应用场景和性能上存在一些差异。

原理差异

因子分析 ：基于线性代数和概率统计的方法，假设观测数据可以通过低维高斯因子的线性组合来建模。通过估计因子载荷矩阵 $W$ 和潜在因子 $z$，来解释观测数据的变异性。
自编码器 ：基于神经网络的方法，通过编码器和解码器的训练，学习数据的低维表示和重构。自编码器可以是线性的，也可以是非线性的，能够处理更复杂的数据分布。

应用场景差异

因子分析 ：适用于数据具有线性结构，且希望找到潜在因子来解释数据的情况。常用于心理学、社会学等领域，例如分析问卷数据中的潜在因素。
自编码器 ：更适用于处理高维、复杂的数据，如图像、音频等。自编码器的变体，如变分自编码器，在生成模型领域有广泛的应用，例如图像生成、数据扩充等。

性能差异

因子分析 ：在处理线性数据时，因子分析可以提供明确的解释和理论保证。但对于非线性数据，因子分析的效果可能不佳。
自编码器 ：具有更强的非线性建模能力，能够处理复杂的数据分布。但自编码器的训练过程可能较为复杂，需要更多的计算资源和数据。

10. 实际应用案例

为了更好地理解因子分析和自编码器的应用，以下是一些实际应用案例。

因子分析在市场调研中的应用

在市场调研中，因子分析可以用于分析消费者的偏好和行为。例如，通过对消费者的问卷调查数据进行因子分析，可以找出影响消费者购买决策的潜在因素，如产品质量、价格、品牌形象等。这些潜在因素可以帮助企业制定营销策略，提高产品的市场竞争力。

具体操作步骤如下：
1. 数据收集 ：设计问卷，收集消费者的相关信息，如购买频率、产品评价等。
2. 数据预处理 ：对收集到的数据进行清洗、标准化等处理，以确保数据的质量。
3. 因子分析 ：使用统计软件（如 SPSS、R 等）进行因子分析，确定潜在因子的数量和因子载荷矩阵。
4. 结果解释 ：根据因子分析的结果，解释潜在因子的含义，并为企业提供决策建议。

自编码器在图像压缩中的应用

自编码器可以用于图像压缩，通过学习图像的低维表示，减少图像的存储空间。例如，使用自编码器对大量的图像数据进行训练，然后将新的图像输入到训练好的自编码器中，得到其低维表示。在需要时，可以通过解码器将低维表示重构为原始图像。

具体操作步骤如下：
1. 数据准备 ：收集大量的图像数据，并将其转换为适合自编码器输入的格式。
2. 模型训练 ：选择合适的自编码器模型（如普通自编码器、去噪自编码器等），并使用图像数据进行训练。训练过程中，调整模型的参数，使得重构误差最小化。
3. 图像压缩 ：将新的图像输入到训练好的自编码器中，得到其低维表示。将低维表示存储起来，实现图像的压缩。
4. 图像重构 ：在需要时，将低维表示输入到解码器中，重构出原始图像。