实时渲染(第三版):第四章转换 4.2.2 4.2.3 4.2.4

最新推荐文章于 2025-04-04 17:16:06 发布

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4.2.2 从欧拉转换矩阵中提取参数

有时需要一个过程，来从一个正交矩阵中提取偶来参数h、p、r。该过程如公式4.19（4*4的矩阵被舍弃，3*3的矩阵已提供了足够的旋转信息）所示：

公式4.19中，三个旋转矩阵的串联产生：

从这个公式中，很显然，可以看出，pitch参数可以通过sin(p) = f21求得。还有，f01除以f11，f20除以f22，和head、roll参数有如下关系：

因此，欧拉参数可以使用下面的公式4.22提取：

不过，有一种特性情况需要我们处理。它发生于cos(p) = 0时；此时f01 = f11 = 0，函数atan2无法使用；但同时，sin(p) = ±1。因此，矩阵F可以简化为：

我们可以先求出r±h的值：sin (r±h)/cos (r±h) = tan (r±h) = f10/f00 -> (r±h) = atan2(f10, f00)。然后，r、h的值就看着办吧（一般h可以取0）。

注意，根据arcsin的定义（参考节B.1），p要满足：-π/2≤p≤π/2；也就是说，如果F创建时的p值超出该范围，则无法提取原参数。如果h、p、r的值不唯一，则说明有多套欧拉参数可以产生相同的转换。欧拉角转换的更多信息可参考Shoemake1994年的文章。上面概述的简单方法可能会产生数值不稳定的问题，这个问题可以用一点速度为代价而避免。

示例：约束一个转换

想象一下，你正拿一个扳手拧着螺栓，为将螺栓拧紧，你不得不旋转扳手，绕着x轴。现在假设你的输入设备（鼠标、VR手套，空间球等）向你提供了扳手的一个正交转换矩阵。你碰到的问题是，你不想对扳手使用该转换矩阵，因为扳手应当仅绕着x轴旋转，而提供的旋转矩阵可能是全方位的。因此，为限制输入的转换P为绕着x轴，可以简单地使用本节中叙述的方法提取欧拉角h、p、r，然后创建一个新的矩阵Rx(p)。它就是我们苦苦寻找的转换矩阵，让扳手仅绕着x轴旋转（如果P包含x轴移动的话）。

4.2.3 矩阵分解

到现在为止，我们都处于一种前提，即我们知道转换矩阵产生的过程（PS：如何串联等）。但有时并不是这样：比如，和已转换的某个对象关联的串联后的矩阵。从串联后矩阵获取各种转换矩阵的任务叫做矩阵分解。

获取一组转换的原因有许多，包括：

为一个对象提取缩放因子。
查找粒子系统所需的转换矩阵。比如，VRML使用一个Transform节点（参考节4.1.5），而不允许使用任意的4*4矩阵。
检测模型是否仅使用了刚体转换。
在动画的关键帧之间进行插值，如果只有对象的矩阵有效的话。
从旋转矩阵中移除错切。

我们已经介绍了两种分解：刚体转换到平移和旋转转换（参考结4.1.6），和正交矩阵到欧拉角（参考节4.2.2）。

如我们所见，获得平移矩阵轻而易举，因为我们只需简单地取得4*4矩阵的最后一列的元素。我们还可以通过检查矩阵的行列式是否为负来检测是存在反射。要分离出旋转、缩放和错切，需要加倍的努力。

幸运的是，网络上有若干关于该主题的文章以及代码。Thomas 和 Goldman 介绍了一些不同的方法用于各种类型的转换。Shoemake 对他们的技术作了改进，使之可以用于仿射矩阵；其算法独立于参照系，尝试分解矩阵以获得刚体转换。

4.2.4 任意轴旋转

有时，让实体绕着任意轴旋转一个角度会比较方便。假设旋转轴为r，且已标准化，转换矩阵需要绕着r旋转α弧度。

为创建该矩阵，首先需要找出另外的两个单位长度的轴（他们和r互相正交）。这些形成了一个基（基的一个例子是标准基，他们的轴分别是：ex = (1,0,0), ey = (0,1,0), ez = (0,0,1)）。思想是改变基（节A.3.2）：将标准基改变到新基，然后绕着轴（就说是x轴吧，需要和r对应）旋转α弧度，最后再转换回标准基。这一过程如图4.7所示：

图 4.7 绕任意轴r旋转，通过寻找有r,s,t组成的正交基达成。我们将找到的正交基对齐到标准基，以便让r和x轴对齐。然后执行绕着x轴的旋转，最后再转换回去。

第一步是计算基的正交轴。第一个轴是r，即我们想要绕着旋转的轴。现在我们关心于寻找第二个轴s，而第三个轴t可以通过r和s的叉积求出。一种数值稳定的方法是找到r绝对值最小的部分，然后将之设为0。交换剩下的两个部分，其中的第一个部分取负（事实上，也可以是第二个部分）。数学上，它可以表示为：