隐式马尔科夫链与维特比算法

本文介绍了隐式马尔科夫链的基本概念及其在实际应用中的两个关键问题:一是计算观察序列的概率;二是寻找最有可能产生该观察序列的状态序列。通过一个具体的天气状态示例,展示了如何使用维特比算法解决这些问题。

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1. 隐式马尔科夫链: 马尔科夫链是一系列的状态转换,设为x1...xn,其中xn至于xn-1相关,假设xi 会以p(i)的概率产生yi, 如下图所示:

 

观察到的是Y的序列,由于X序列不可见,是隐式的,因此称为隐式马尔科夫链

 

真实系统中,x与y之间有可能不是一一对应的关系,但总有一个从X到Y的概率

 

现在我们观察到了一个Y的序列,要计算如下两件事情:

1. Y这个序列出现的概率多大?

2. 要出现Y这个序列,则概率最大的X序列是什么?

 

第一个问题:

假设X序列初始状态是Xi的概率为Ii, P(Xi|Xj) = Aij, P(Yi|Xi) = Bi

则Y序列的初始状态是Yi的概率为:P(Yi) =  Ii * Bi

P(Yi + 1) = sum(P(Xi + 1) | Xi) * Bi + 1

 

即,因此要计算序列Y1...Yn的概率,需要计算P(Xn | Y1...Yn-1),计算过程如下:

观察到事实Y1, 计算从状态Xi到所有其他状态在Xj这个事实下的转换概率,计算出在Y1这个事实下,所有X1...Xn的出现概率,依次如此计算,最后计算出Y1...Yn的概率

 

第二个问题:

由于马尔科夫链的关系,假设我们已经求出对应这Y1...Yi的最大概率X序列,那么对Yi +1, 我们只需计算Yi 到 Yi + 1的最大概率序列即可,即是从状态1到状态2的最大概率与状态2到状态3的最大概率无关。

 

举例如下:

例子来自于wiki:http://en.wikipedia.org/wiki/Viterbi_algorithm

 

网上还有一篇非常详细地介绍hmm的文章:

http://jedlik.phy.bme.hu/~gerjanos/HMM/node2.html#SECTION00200000000000000000

要计算马尔科夫链模型,我们需要确定以下几点: 1. 状态转移概率矩阵 A 2. 初始状态概率向量 pi 3. 观测概率矩阵 B 4. 观测序列 O 下面是一个示例Python代码,计算马尔科夫链模型: ``` import numpy as np # 状态转移概率矩阵 A = np.array([[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]]) # 初始状态概率向量 pi = np.array([0.5, 0.5]) # 观测概率矩阵 B = np.array([[0.1, 0.4, 0.5], [0.6, 0.3, 0.1]]) # 观测序列 O = np.array([0, 1, 2]) # 前向概率计算 def forward(A, pi, B, O): T = len(O) N = A.shape[0] alpha = np.zeros((T, N)) alpha[0] = pi * B[:, O[0]] for t in range(1, T): for j in range(N): alpha[t, j] = B[j, O[t]] * np.sum(alpha[t-1] * A[:, j]) return alpha # 后向概率计算 def backward(A, pi, B, O): T = len(O) N = A.shape[0] beta = np.zeros((T, N)) beta[T-1] = 1 for t in range(T-2, -1, -1): for j in range(N): beta[t, j] = np.sum(beta[t+1] * B[:, O[t+1]] * A[j, :]) return beta # 解码函数 def viterbi(A, pi, B, O): T = len(O) N = A.shape[0] delta = np.zeros((T, N)) psi = np.zeros((T, N)) delta[0] = pi * B[:, O[0]] for t in range(1, T): for j in range(N): delta[t, j] = np.max(delta[t-1] * A[:, j]) * B[j, O[t]] psi[t, j] = np.argmax(delta[t-1] * A[:, j]) states = np.zeros(T, dtype=int) states[T-1] = np.argmax(delta[T-1]) for t in range(T-2, -1, -1): states[t] = psi[t+1, states[t+1]] return states # 计算前向、后向概率 alpha = forward(A, pi, B, O) beta = backward(A, pi, B, O) # 计算似然概率 likelihood = np.sum(alpha[-1]) # 解码 states = viterbi(A, pi, B, O) ``` 这个示例代码使用了前向概率、后向概率、似然概率和解码函数来计算马尔科夫链模型。您可以根据需求标准化、对数化、优化程序等,来满足您的需求。
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