图像处理编程实践与算法优化

19、当A = -1且B = 2时，确定函数f(x) = A · cos(ωx) + B · sin(ωx)的相位角φ。

根据公式
$$ \varphi = \tan^{-1}\left(\frac{B}{A}\right) $$
将 $ A = -1 $，$ B = 2 $ 代入可得
$$ \varphi = \tan^{-1}\left(\frac{2}{-1}\right) = \tan^{-1}(-2) $$

20、使用正弦和余弦函数的查找表，修改一维离散傅里叶变换（DFT）的直接实现。

为了使用查找表来修改一维离散傅里叶变换（DFT）的直接实现，我们需要在代码中添加查找表的初始化，并在计算DFT时使用这些查找表来获取正弦和余弦值。以下是修改后的代码：

class Complex {
    double re, im;

    Complex(double re, double im) {
        //构造方法
        this.re = re;
        this.im = im;
    }
}

Complex[] DFT(Complex[] g, boolean forward) {
    int M = g.length;
    double s = 1 / Math.sqrt(M); // 公共比例因子
    Complex[] G = new Complex[M];

    // 初始化查找表
    double[] WC = new double[M];
    double[] WS = new double[M];

    for (int k = 0; k < M; k++) {
        WC[k] = Math.cos(2 * Math.PI * k / M);
        WS[k] = Math.sin(2 * Math.PI * k / M);
    }

    for (int m = 0; m < M; m++) {
        double sumRe = 0;
        double sumIm = 0;

        for (int u = 0; u < M; u++) {
            double gRe = g[u].re;
            double gIm = g[u].im;

            // 使用查找表获取正弦和余弦值
            int index = (m * u) % M;
            double cosw = WC[index];
            double sinw = WS[index];

            if (!forward) {
                // 逆变换
                sinw = -sinw;
            }

            // 复数乘法: [gRe+i · gIm]·[cos(ω)+i· sin(ω)]
            sumRe += gRe * cosw + gIm * sinw;
            sumIm += gIm * cosw - gRe * sinw;
        }

        G[m] = new Complex(s * sumRe, s * sumIm);
    }

    return G;
}

在这个修改后的代码中，我们添加了两个查找表 WC 和 WS ，分别用于存储余弦和正弦函数的值。在计算DFT时，我们使用 (m * u) % M 作为索引来从查找表中获取所需的正弦和余弦值，而不是每次都调用 Math.cos 和 Math.sin 函数。这样可以提高计算效率，因为查找表的访问速度比函数调用快。

21、考虑如何通过使用预先计算的余弦值表（针对给定信号长度M）来加速一维离散余弦变换（DCT）的实现。提示：需要一个长度为4M的表。

为加速一维 DCT 实现，可预先计算余弦值并存储在长度为 4M 的表中。

计算 DCT 时多次用到 Math.cos(Phi) ，其中
Phi = Math.PI * m * (2 * u + 1) / (2 * M) 。

通过预先计算并存储这些余弦值，可避免每次循环都调用 Math.cos() 函数，从而提高效率。

具体步骤如下：

1. 创建长度为 4M 的数组来存储余弦值。
2. 遍历所有可能的 Phi 值，计算余弦值并存储在数组中。
3. 在计算 DCT 和逆 DCT 时，使用预先计算的余弦值表，而非每次都调用 Math.cos() 函数。

22、为任意大小的图像实现二维离散余弦变换。利用二维离散余弦变换可以作为一系列一维变换来执行这一事实。

要实现任意大小图像的二维离散余弦变换（2D DCT），可利用其可分离性，将其分解为一系列一维离散余弦变换（1D DCT）。以下是实现步骤和示例代码思路：

步骤

1. 对图像的每一行应用1D DCT
   对图像的每一行数据进行一维离散余弦变换。

2. 对变换后的每一列应用1D DCT
   对第一步变换后的数据的每一列进行一维离散余弦变换。

示例代码（Python）

import numpy as np
from scipy.