16、美式期权定价方法详解

美式期权定价方法详解

1. Medvedev - Scaillet 展开法概述

Medvedev 和 Scaillet 在 2010 年提出了一种方法，可将美式看跌期权价格以渐近展开的形式进行解析表达。该方法适用于广泛的随机波动率模型，下面分别介绍其在 Black - Scholes 模型和 Heston 模型下对美式看跌期权的应用。

1.1 Medvedev - Scaillet 法用于 Black - Scholes 模型

1.1.1 基本定义

美式看跌期权价格表示为 (P(\theta, \tau))，其中 (\tau) 是到期时间，(\theta) 是归一化的实值程度，计算公式为：
(\theta = \frac{\ln(K/S)}{\sigma\sqrt{\tau}})

美式看跌期权价格可以近似表示为：
(P(\theta, \tau) = \sum_{n = 1}^{\infty} P_n(\theta)\tau^{n/2})

其中，(P_n(\theta)) 的定义为：
(P_n(\theta) = C_n [p_0^n(\theta)\Phi(\theta) + q_0^n(\theta)\phi(\theta)] + p_1^n(\theta)\Phi(\theta) + q_1^n(\theta)\phi(\theta) = C_nP_0^n(\theta) + P_1^n(\theta))

这里，(\Phi(\theta)) 和 (\phi(\theta)) 分别表示标准正态累积分布函数和概率密度函数。

1.1.2 计算