8、期权定价与数值积分方法

期权定价与数值积分方法

在期权定价领域，尤其是在随机波动率模型下，有多种强大且新颖的方法可用于计算期权价格。同时，数值积分在期权定价计算中也起着关键作用，接下来将详细介绍相关内容。

随机波动率下的期权定价方法

Alan Lewis（2000，2001）开发了几种用于随机波动率下期权定价的方法，具有重要意义。
- 基本变换法 ：基本变换极其方便，一旦获得给定随机波动率模型的基本变换，通过其收益变换就能轻松得到该模型下的欧式期权价格。而且，在Lewis（2000）的研究中，基本变换适用于广泛的模型，并非局限于Heston模型。
- Parseval恒等式法 ：Lewis（2001）还提出了使用Parseval恒等式进行期权定价的方法。
- 波动率级数展开法 ：Lewis（2000）提出的波动率级数展开法，用一系列解析项来近似Heston（1993）的看涨期权价格。该展开法的主要优点是无需进行数值积分，因此能快速计算期权价格。

然而，大多数模型在计算期权价格时仍需要进行数值积分。这带来了一些挑战，例如积分区间通常为[0, ∞)，需要将其缩小到更易于处理的区间，并且被积函数可能存在极端振荡的情况。理想的数值积分方案应既能克服这些困难，又能减少计算时间。

数值积分方法概述

在期权定价中，Heston模型的看涨期权价格计算常常需要对积分进行评估。但在Heston模型中，概率积分的原函数往往无法找到，因此必须对积分进行数值近似。

数值积分通过将积分区间上离散点的函数值乘以权重并求和来近似积