39、扩散机器与约束算法的深入解析

扩散机器与约束算法的深入解析

1. 时空环境中的扩散

在涉及时空环境时，数据模型有了新的视角。对于序列的时间解释，我们可以通过设置 ( t = -v ) 来反转之前定义的关系 ( \prec )。以 ( z_{t + 1} = s(z_t, x_t) ) 为例，它对应着列表的时间解释。进一步，我们可以将其转化为连续的解释，即：
[
\begin{cases}
\dot{z}(t) = s(z(t), x(t)) \
y(t) = f(z(t), x(t))
\end{cases}
]
这个微分方程既可以看作是学习环境的时间约束，也可能与自然规律相关。当用普通的连续时间概念取代离散时间基础时，在时间环境中工作的任何主体都遵循描述状态演变的规律。

在空间方面，现实世界中的许多问题可以通过空间约束来建模。以计算机视觉中的图像处理为例，除了时间连贯性，还存在空间连贯性要求。假设图像由网格表示，每个顶点 ( v ) 有对应的坐标 ( v \sim (i, j) )。在考虑单一状态变量和线性过渡函数时，有：
[
z_{i,j} = w(z_{i - 1,j} + z_{i + 1,j} + z_{i,j - 1} + z_{i,j + 1}) + ux_{i,j}
]
当空间量化使得相邻状态任意接近时，可推导出离散形式的偏微分方程：
[
\nabla^2 z + \frac{w}{u} x = 0
]
这是图像处理框架中空间对称关系约束的一种体现。有趣的是，关系约束的转换和简单的平滑要求会产生泊松方程，拉普拉斯算子也从正则化项 ( \langle \nabla z