8、组合数学入门：规则、示例与问题解析

组合数学入门：规则、示例与问题解析

1. 组合数学基础

组合数学主要解决对有限集元素构成的各种配置（如排列）进行计数的问题，这些配置可能会受到各种限制。在计数时，主要依据两个重要规则：求和规则与乘积规则。

1.1 求和规则

若(A_1, A_2, \cdots, A_k)为相互独立的事件，事件(A_1)有(n_1)种可能结果，事件(A_2)有(n_2)种可能结果，以此类推，事件(A_k)有(n_k)种可能结果，那么事件“(A_1)或(A_2)或(\cdots)或(A_k)”的可能结果数为(n_1 + n_2 + \cdots + n_k)。

1.2 乘积规则

若有(k)个事件构成的序列，第一个事件有(n_1)种可能结果，第二个事件有(n_2)种可能结果，依此类推，最后一个事件有(n_k)种可能结果，那么这(k)个事件序列的总结果数为(n_1 \cdot n_2 \cdot \cdots \cdot n_k)。

1.3 样本类型

• ((n, k)) - 样本 ：从基数为(n)的集合(A)中选取(k)个元素(x_1, x_2, \cdots, x_k)组成的集合。若元素顺序重要，则为有序样本；否则为无序样本。
• ((n, k)) - 有重复排列 ：有序的((n, k)) - 样本，且元素可重复，其数量为(\overline{P}(n, k)=n^k)。
• ((n, k)) - 无重复排列 ：有序的((n, k)) - 样本，元