高等数学：从入门到精通

《高等数学：从入门到精通》

目录

第一卷：数学基础与核心工具

第1章 数学语言与逻辑基础

• 集合论与数理逻辑

  • 集合的基本概念与运算（子、并、交、补、幂、笛卡尔积）
  • 容斥原理及其应用
  • 命题逻辑：联结词（与、或、非、蕴含、等价）、真值表、逻辑等价与逻辑推理
  • 量词（一阶逻辑）：全称量词与存在量词，自由变量与约束变量
  • 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法与超限归纳法

• 数系与抽象结构

  • 自然数、整数、有理数、实数、复数的公理化构建
  • 复数的几何表示与四元数代数简介
  • 代数运算公理：群、环、域的定义及基本性质，初步示例

第2章 解析几何与函数理论

• 几何建模工具

  • 二次曲线与二次曲面的分类及其不变量
  • 向量空间：基、维数、线性变换
  • 向量积与混合积的应用（平面方程、空间几何）
  • 极坐标、柱坐标与球坐标的几何分析

• 函数分析与极限理论

  • 初等函数族：指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数及其性质
  • 极限的严格定义：ε-δ语言与序列语言及其等价性
  • 连续性理论：连续函数、间断点、一致连续性
  • 紧致性与紧致集的性质

第3章