10、傅里叶域收敛分析

傅里叶域收敛分析

在图像处理和信号处理中，收敛分析是理解算法性能和稳定性的关键。本文将深入探讨相关的收敛分析，特别是在使用二次平滑正则化器和二次上界 TV 正则化器的情况下。

1. 交替最小化（AM）步骤中的成本函数

在交替最小化（AM）步骤中出现的成本函数是二次的。给定 $k$，通过将式 (5.7) 关于 $x$ 的梯度 $\nabla C_x$ 设为零来求解 $x$，得到：
[
(K_i^T K_i + D^T \Phi^{(i)}) x = K_i^T y
]
类似地，将 $\nabla C_k$ 设为零来求解 $k$，得到：
[
(X_{i + 1}^T X_{i + 1} + D^T \Phi^{(i)}) k = X_{i + 1}^T y
]
这两个方程都具有 $Ax = b$ 的形式，并且可以验证，对应于 $A$ 的矩阵是对称且半正定的，这使得我们可以使用共轭梯度下降法来求解 $k$ 和 $x$。由于矩阵 $K$ 和 $D$ 的尺寸较大，在实现时使用卷积来计算 $Ax$，而不是直接进行矩阵乘法。

2. 交替最小化（AM）的收敛分析

2.1 使用二次平滑正则化器

成本函数为：
[
f(x, k) = | y - Kx |^2 + \alpha_x r(x) + \alpha_k r(k)
]
其中，$r(x)$ 定义为：
[
r(x) = \sum_{m = 0}^{M - 2} \sum_{n = 0}^{N - 2} |\nabla x(m, n)|^2
]