12、图像盲反卷积的收敛性分析

图像盲反卷积的收敛性分析

在图像盲反卷积领域，收敛性分析是确保算法有效性和稳定性的关键。本文将详细探讨傅里叶域和空间域的收敛性分析，以及相关的优化方法和性质证明。

1. 傅里叶域收敛性分析

1.1 PSF 收敛情况

对于一个通过经验确定的中间值 k，点扩散函数（PSF）能够收敛到接近原始值的状态，均方误差达到 10⁻⁵ 数量级。

1.2 共轭梯度下降法的应用

在使用共轭梯度下降法估计 PSF 时，对与图像大小相同的 h 进行优化在计算上并不经济。因此，关于 PSF 中第 i 个像素 hi 的梯度通过以下公式计算：
[
\begin{align }
\left\lVert y - Hx \right\rVert^2 &= \sum_{m}\sum_{n}\left( y(m,n) - \sum_{k}\sum_{l}h(k,l)x(m - k,n - l) \right)^2
\end{align }
]
虽然这种方法降低了共轭梯度下降法在速度方面的优势，但仍然比有约束的情况快得多。其结果与使用有约束优化得到的结果相当，并且比有约束优化情况快几个数量级。

1.3 正则化与收敛性

使用二次上界总变分（TV）函数作为图像和 PSF 的正则化器，在交替最小化（AM）迭代中具有二次成本函数的优势，使得问题易于进行收敛性分析。通过分析可知，随着 AM 算法的每次迭代，正则化因子会被修改，最终得到一个可接受的解。

TV 范数比平滑正则化器表现更好，并且之前文献中的收敛性分析可以通过更简单的方式推