11、傅里叶域收敛分析：TV正则化器的应用与误差分析

傅里叶域收敛分析：TV正则化器的应用与误差分析

1. TV正则化器的傅里叶域收敛分析

在进行交替最小化过程的傅里叶域收敛分析时，我们针对式(5.3)展开研究。为了便于分析，我们假设采用循环卷积，其具有交换性，即$Kx = Xk$，这里的$X$是与$x$对应的卷积矩阵，同时将向量$k$补零使其大小与$x$相同。

从式(5.7)和(5.8)可知，给定$k$估计$x$以及给定$x$估计$k$的代价函数均为二次型。然而，联合代价函数式(5.3)并非二次型，其第一项为：
[
\left\lVert y - Kx \right\rVert^2 = y^T y - 2y^T Kx + x^T K^T Kx
]

按照特定方法，我们在频域进行收敛分析，对式(5.9)和(5.10)进行离散傅里叶变换(DFT)。由于$K$和$X$是卷积矩阵，它们是具有循环块的块循环矩阵(BCCB)，可通过DFT进行对角化，具体如下：
[
K = (F_M \otimes F_N) \hat{k} (F_M \otimes F_N)^
]
[
X = (F_M \otimes F_N) \hat{X} (F_M \otimes F_N)^
]
其中，$\otimes$表示克罗内克积，$\hat{k}$是对角矩阵，其对角元素对应$k$的傅里叶变换，即$\text{diag}(\hat{k}) = (F_M \otimes F_N)k$；同理，$\text{diag}(\hat{X}) = (F_M \otimes F_N)x$。

设$X (\omega_x, \omega_y)$和