25、分布式多智能体系统中的优化与延时问题研究

分布式多智能体系统中的优化与延时问题研究

1. 离散时间下的最优线性协调算法

在离散时间环境中，存在一些关于最优线性协调算法的重要结论。已知 $(I_n - TL )^{-1} = \sum_{i = 0}^{\infty}(TL )^i$，由于 $L$ 是对称半正定矩阵且具有一个简单的零特征值，通过 $Q = (I_n - TL )^{-1}L^2$ 可知，$Q$ 也是对称半正定矩阵且具有一个简单的零特征值。同时，$(I_n - TL )Q = L^2$，即 $Q = TLQ + L^2$，由此可推导出 $(2L + TQ)^2 = 4Q + (TQ)^2$。对该等式两边取平方根并化简，可得到 $T (\sqrt{Q}+4I_n/T^2\sqrt{Q}-Q)/2 = L$。

1.1 基于交互相关成本函数的最优缩放因子

假设图 $G$ 是无向图，对于交互相关成本函数下的最优控制问题，可表示为：
$\min_{\beta} \sum_{k = 0}^{\infty} [\tilde{r}^T [k]L \tilde{r}[k] + u^T [k]u[k]]$
约束条件为：
$r[k + 1] = r[k] + Tu[k]$，$u[k] = -\beta L \tilde{r}[k]$
设 $0 = \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n$ 是 $L$ 的特征值，且 $L$ 具有一个简单的零特征值，那么最优缩放因子 $\beta_{opt}$ 满足：
$\frac{-T + \sqrt{T^2 + \frac{4}{\lambda_n}}}{2} \leq \beta_{opt}