9、子域上的编码：扩展码与子域子码解析

子域上的编码：扩展码与子域子码解析

1. 基础概念

在编码理论中，我们常常会关注如何从已有的编码构造新的编码。这里我们聚焦于两种特殊技术，它们源于将域 $F$ 视为其子域 $K$ 上的向量空间。我们从 $F$ 上的线性码开始，最终过渡到 $K$ 上的线性码，其中 $K = F_2$ 的情况具有特别重要的实际意义。

设 $\dim_K(F) = m$，选取 $e_1, \ldots, e_m$ 作为 $F$ 在 $K$ 上的一组基。我们定义映射 $\varphi: F \to K^m$ 为：
$\varphi(\alpha) = (a_1, \ldots, a_m)$，其中 $\alpha = a_1e_1 + \cdots + a_me_m$。

为了简便，我们用 $\hat{\alpha}$ 表示 $1 \times m$ 的行向量 $\varphi(\alpha)$，用 $\check{\alpha}$ 表示其转置 $\varphi(\alpha)^T = (a_1, \ldots, a_m)^T$，即一个 $m \times 1$ 的列向量。

对于任意 $p \times q$ 矩阵 $A \in F^{p,q}$，其 $(i,j)$ 元素为 $a_{i,j}$，我们定义 $\tilde{A} \in K^{p,mq}$ 为：
[
\tilde{A} =
\begin{bmatrix}
\hat{a} {1,1} & \hat{a} {1,2} & \cdots & \hat{a} {1,j} & \cdots & \hat{a} </