7、广义 Reed - Solomon 码：基础与解码

广义 Reed - Solomon 码：基础与解码

1960 年，I.S. Reed 和 G. Solomon 引入了一类纠错码，这类码具有双重优势，不仅在实际应用中十分有用，其背后的数学原理也颇具趣味性。下面将详细介绍广义 Reed - Solomon 码的基本性质、结构以及一种高效的代数解码方法。

1. 广义 Reed - Solomon 码基础

设 (F) 为一个域，选取非零元素 (v_1, \ldots, v_n \in F) 和不同元素 (\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in F)，令 (c = (v_1, \ldots, v_n)) 且 (\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n))。对于 (0 \leq k \leq n)，定义广义 Reed - Solomon 码为：
[GRS_{n,k}(\alpha, v) = { (v_1f(\alpha_1), v_2f(\alpha_2), \ldots, v_nf(\alpha_n)) | f(x) \in F[x] k }]
这里 (F[x]_k) 表示 (F[x]) 中次数小于 (k) 的多项式集合，它是 (F) 上的 (k) 维向量空间。对于固定的 (n)、(\alpha) 和 (v)，不同的 GRS 码具有良好的嵌入性质 (GRS {n,k - 1}(\alpha, v) \leq GRS_{n,k}(\alpha, v))。

若 (f(x)) 是一个多项式，通常用 (f) 表示其对应的码字。该码字也依赖于 (\alpha) 和 (v)，为清晰起见，可写成 (ev_{\alpha, v}(f(x)) = (v_1f