4、线性码：原理、特性与应用

线性码：原理、特性与应用

在信息传输和存储过程中，为了高效地对代码进行编码和解码，我们需要为代码空间添加更多结构。线性码因其良好的数学性质和实际应用价值，成为了研究的重点。

线性码基础

线性码是长度为 $n$ 的向量空间，它是域 $F$ 上 $F^n$ 的子空间。若线性码 $C$ 在域 $F$ 上作为向量空间的维数为 $k$，则称 $C$ 为 $[n, k]$ 线性码，其码率为 $k/n$。若 $C$ 的最小距离为 $d$，则称 $C$ 为 $[n, k, d]$ 线性码，$n - k$ 为其冗余度。

以下是一些常见线性码的例子：
- 重复码 ：长度为 $n$ 的重复码是 $[n, 1, n]$ 线性码。
- 二进制奇偶校验码 ：长度为 $n$ 的二进制奇偶校验码是 $[n, n - 1, 2]$ 线性码。
- 汉明码 ：如 $[7, 4]$、$[8, 4]$ 和 $[4, 2]$ 汉明码，它们由奇偶校验或类似方程定义，属于线性码。
- 实里德 - 所罗门码 ：示例中的实里德 - 所罗门码是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $[27, 7, 21]$ 线性码。

香农定理与线性码

香农定理在线性码领域也有重要体现。设 $F$ 是具有 $m$ 个元素的域，考虑 $mSC(p)$ 且 $p < 1/m$，定义 $L_{\kappa} = { \text{域 } F \text{ 上码率至少为 } \kappa \text{ 的线性码} }$。