5、微分方程与差分方程建模及矩阵分析

微分方程与差分方程建模及矩阵分析

1. 微分方程建模

在微分方程建模中，我们会遇到一些关键概念，如驻点和渐近极限。并非所有驻点都是渐近极限，例如指数增长方程 $\frac{dy}{dt} = y$，$y = 0$ 是驻点，但当 $y(0) \neq 0$ 时，随着 $t \to \infty$，$y \to \infty$。而指数衰减方程 $\frac{dy}{dt} = -y$，无论起始点 $y(0)$ 为何值，其渐近极限都是 0。

渐近极限的存在和值往往依赖于起始点 $Y(0)$。给定渐近极限 $Y_{\infty}$，所有使得解趋向于 $Y_{\infty}$ 的起始点集合称为吸引域 $B_{Y_{\infty}}$，即 $B_{Y_{\infty}} = {Y_0 : \lim_{t \to \infty} Y(t) = Y_{\infty} \text{ 当 } Y(0) = Y_0}$。若系统的吸引域本质上是整个定义域，则称该渐近极限是全局的。例如，微分方程 $\frac{dy}{dt} = -y(1 - y)$，当 $-\infty < y_0 < 1$ 时，渐近极限为 $y = 0$；当起始点大于 1 时，解趋向于无穷。

周期性是一种更复杂的渐近行为，解可能一开始就是周期性的，也可能渐近趋向于周期性。如 $\frac{dy}{dt} = \cos t$ 是前者的例子，$\frac{dy}{dt} = -y + \cos t$ 是后者的例子，其解为 $y = Ae^{-t} + \frac{1}{2}(\cos t + \sin t)$，其中 $A$ 取决于初始条件，且整个 $Ae^{-t}$ 项趋向于零。

以下是一些相关的练习：