3、数学工具：线性依赖与最小二乘法回归

数学工具：线性依赖与最小二乘法回归

1. 线性依赖相关内容

在探讨线性依赖时，我们先从人口增长的例子入手。假设在时间 $t$ 时的成年人口数量为 $y$，在给定的小时间间隔 $\Delta t$ 内，新出生的后代数量代表人口的变化 $\Delta y$。$\frac{\Delta y}{\Delta t}$ 是该时间段内人口的平均增长率，而导数 $\frac{dy}{dt}$ 则是时间 $t$ 时的瞬时增长率。

为了简化问题，我们做一个有争议但方便的假设：新出生的后代立即成为成年人。基于这个假设，我们可以得到一个数学表达式：$\frac{dy}{dt} = ky$，其中 $k$ 是比例常数。这表明人口的增长率与当前人口数量成正比。

通过积分可以轻松求解这个微分方程：
- 首先将方程变形为 $\frac{dy}{y} = kdt$。
- 然后积分得到 $\ln y = kt + \ln A$，其中 $\ln A$ 是积分常数。
- 最后对两边取指数，得到 $y = Ae^{kt}$。

以下是相关的练习题及代码示例：

1.1 单位转换

• 问题 ：将指定单位转换为指示单位，如将 $x$ 英寸转换为厘米，$y$ 磅每加仑转换为千克每升，$z$ 英里每小时转换为千米每小时。
• MAPLE 代码 ：

#Change of units is built-in
#type: ?convert.
> convert(x*inches,metri