33、细胞自动机与不可完成词问题的研究

细胞自动机与不可完成词问题的研究

不可完成词问题相关研究

在对不可完成词问题的研究中，经过大量计算实验，找到了一系列集合 $S_k$。研究人员在 $\Sigma^{\leq3}$ 的所有子集中，寻找关于包含关系最大的非完全集，并且关注那些具有最长可能最小不可完成词的集合。

通过计算，找到了两个极端集合（不考虑字母重命名和取镜像）：
- $S_3 = (\Sigma^3 \setminus {baa, bba}) \cup (\Sigma^2 \setminus {aa, bb})$
- $S_3’ = (\Sigma^3 \setminus {baa, bba}) \cup (\Sigma^2 \setminus {ab, ba})$

计算基于将集合 $S^*$ 表示为花自动机，并且利用了集合 $S$ 非完全当且仅当相应的非确定性自动机是同步的这一事实。同时，不可完成词的集合与同步词的语言相同。

对于 $k = 4$ 的情况，由于计算量过大，普通笔记本无法完成，因此搜索时添加了限制条件 $|\Sigma^4 \cap S| \geq 11$。在这个类中，不考虑字母重命名和取镜像，只有一个极端非完全集：$(\Sigma^4 \setminus {aabb, abaa, abbb}) \cup (\Sigma^3 \setminus {aba, bba, bbb})$。这个例子的最小不可完成词长度为 31，而集合 $S_k$ 的最小不可完成词长度为 25，所以 $S_k$ 即使对于 $k = 4$ 也不是最优的。由此可知，下限 $5k^2 - 17k + 13$ 很可能可以改进，但关于紧下限是否为二次的问题仍然未解决。

细