63、非线性偏微分方程系统控制与互联网路由带宽分配控制方法

非线性偏微分方程系统控制与互联网路由带宽分配控制方法

1 非线性波偏微分方程模型的微分平坦性

1.1 状态空间描述

对于非线性波偏微分方程动力学，其状态空间描述如下：
$\dot{y} {1,1} = y {2,1}$
$\dot{y} {2,1} = -2\frac{K}{\Delta x^2} y {1,1} + \frac{K}{\Delta x^2} \varphi_0 + f (y_{1,1}) + \frac{K}{\Delta x^2} y_{1,2}$
$\dot{y} {1,2} = y {2,2}$
$\dot{y} {2,2} = -2\frac{K}{\Delta x^2} y {1,2} + \frac{K}{\Delta x^2} y_{1,1} + f (y_{1,2}) + \frac{K}{\Delta x^2} y_{1,3}$
$\cdots$
$\dot{y} {1,i} = y {2,i}$
$\dot{y} {2,i} = -2\frac{K}{\Delta x^2} y {1,i} + \frac{K}{\Delta x^2} y_{1,i - 1} + f (y_{1,i}) + \frac{K}{\Delta x^2} y_{1,i + 1}$
$\cdots$
$\dot{y} {1,N - 1} = y {2,N - 1}$
$\dot{y} {2,N - 1} = -2\frac{