5、生物统计学中的回归与纵向数据分析

生物统计学中的回归与纵向数据分析

在生物统计学领域，面对不同类型的数据和研究问题，需要运用多种统计模型和方法进行分析。下面将详细介绍广义线性模型、纵向数据分析等相关内容。

广义线性模型

在许多制药和生物医学应用中，响应变量往往不是连续的，例如特定副作用的有无、一段时间内癫痫发作的次数、特定身体区域的痤疮疙瘩数量或癌症治疗的反应类型（如完全缓解、部分缓解、疾病稳定、进展）等。当响应变量为离散型（如二元、有序或计数）时，线性回归模型就不再适用，此时广义线性模型成为将预期响应变化与协变量相关联的替代方法。

广义线性模型将线性回归模型的类别扩展到结果变量可以是分类、连续或计数的情况，它通过指定以下三个要素，以某种线性形式将 $Y_i$ 的均值 $\mu_i = E(Y_i| X_{i1}, \ldots, X_{ip})$ 与协变量 $X_i$ 相关联：
1. $Y_i$ 的分布 ：假设响应的分布属于指数族分布，其密度函数可以表示为：
- $f(y_i; \theta_i, \phi) = \exp\left(\frac{y_i\theta_i - a(\theta_i)}{\phi} + b(y_i, \phi)\right)$
- 其中 $a(\cdot)$ 和 $b(\cdot)$ 针对每个特定分布有具体定义。所有指数族分布都具有一些共同的统计特性，例如 $Y_i$ 的均值可以通过函数 $a(\theta_i)$ 的一阶导数计算，即 $E(Y_i) = \mu_i = \frac{\partial a(\theta_i)}{\partial \theta}$；响应的方差可以通过 $a(\theta_i)$ 的二阶导