HMM隐马尔科夫模型、MEMM最大熵马尔科夫模型和条件随机场的CRF 对比

先来写写什么是贝叶斯网络（信念网络）和马尔科夫网络，这点至关重要

贝叶斯网络和马尔科夫网络

贝叶斯网络

对于有向图模型，这么求联合概率：
举个例子，对于下面的这个有向图的随机变量(注意，这个图我画的还是比较广义的)：
应该这样表示他们的联合概率:

马尔科夫网络

说白就是无向图

如果一个graph太大，可以用因子分解将 写为若干个联合概率的乘积。咋分解呢，将一个图分为若干个“小团”，注意每个团必须是“最大团”（就是里面任何两个点两两连通，就是最大连通子图），则有：

至于这个公式为什么是这个形式有一个Hammersly-Clifford law，李航老师书上有详细的证明。所以这个公式说明了两点：

1. 无向图可以写成最大图势函数的乘积
2. 势函数一般可以是指数的形式，后面CRF定义势函数就更有技巧了

HMM

HMM是有向图模型，是生成模型；HMM有两个假设：一阶马尔科夫假设（t时刻隐状态只依赖于t-1时刻隐状态）和观测独立性假设（t时刻观测只依赖于t时刻的隐状态）；但对于序列标注问题不仅和单个词相关，而且和观察序列的长度，单词的上下文，等等相关。
HMM模型$\lambda$=(状态转移概率矩阵A,观测状态转移概率矩阵B,初始状态矩阵$\pi$)，同时假设观测数据O，状态序列数据为I，隐马尔科夫模型事实上是一个含有隐变量的概率模型$$P(O|\lambda )=\sum _{I}P(O|I,\lambda )P(I|\lambda )$$
以下是和这个模型相关的一些算法，其实这些算法都是广义的，在HMM、MEMM和CRF中都可以使用：

1. 算概率的问题（编码算法）： 给定模型$\lambda$，如何估算$P(O|\lambda )$。这里会用前向-后向算法，李航老师书上有详细的推导，说白了就是累加算递推
2. 学习算法：给定一个输出字符的序列 O，如何调整模型的参数使得产生这一序列的概率最大？这里学习算法用EM算法（HMM的EM算法叫Baum-Welch算法）
3. 求最大序列（编码算法）：定一个输出字符的序列 O和模型$\lambda$，如何求可能性最大的序列，这里用维特比Viterbi算法，实际上也是动态规划求状态t到状态t+1的概率。维特比算法其实可以用以下公式来表达，其中$z_j^{(t)}$表示第t层第j个节点，$z_i^{(t+1)}$表示第t+1层第i个节点，然后动态规划转移就可以，其中函数$f_{ji}$在不同模型中的表达式不一样，在HMM参考李航老师的书，在MEMM和CRF中有不同的表达形式
   $$z_i^{(t+1)}=\underset{j\in laye{r}_t}{\max }{f}_{ji}(z_j^{(t)})$$

MEMM

MEMM（最大熵马尔科夫模型）是有向图模型，是判别模型；MEMM打破了HMM的观测独立性假设，MEMM考虑到相邻状态之间依赖关系，且考虑整个观察序列，因此MEMM的表达能力更强；但MEMM会带来标注偏置问题：由于局部归一化问题，MEMM倾向于选择拥有更少转移的状态。这就是标记偏置问题。最大熵马尔科夫模型建模如下$$P(x_{1...n}|y_{1...n})=\prod _{i=1}^{n}P(x_i|x_{i-1},y_{1...n})$$
其中$P(x_i|x_{i-1},y_{1...n})$会在局部进行线性叠加，即
$$P(x_i|x_{i-1},y_{1...n})=\frac{exp(F(x_{i-1},x_i,y_{1...n}))}{{\sum }_{x_i}exp(F(x_{i-1},x_i,y_{1...n}))}$$

其中$F(x_{i-1},x_i,y_{1...n})$是这些特征的线性相加

接下来回答一下为啥$P(x_i|x_{i-1},y_{1...n})$长成这样，因为最大熵模型就是定义在条件熵基础上的，利用拉格朗日乘数法可以写成指数的形式，可以参考https://blog.youkuaiyun.com/taoqick/article/details/102672110， 详细推导参考李航老师的书，最终最大熵模型就是指数形式：
$$P_w(y|x)=\frac{1}{Z_w(x)}exp[\sum _i{w}_i{f}_i(x_{,}y)]$$
其中，$Z_w(x)$叫做归一化因子，x是输入，y是输出，w是权重向量，$f_i(x,y)$是任意实特征函数，所以$Z_w(x)$的表达式是
$$Z_w(x)=\sum _{y}exp[\sum _i{w}_i{f}_i(x,y)]$$

CRF(Conditional Random Field)

CRF模型解决了标注偏置问题，去除了HMM中两个不合理的假设，当然，模型相应得也变复杂了。$$P(x_{1...n}|y_{1...n})=\frac{{\prod }_{i=1}^{n}P(x_i,x_{i-1},y_{1...n})}{Z(y_{1...n})}$$，其中归一化因子$Z(y_{1...n})$会在全局范围内进行归一化，从而解决了局部归一化带来的标注偏置问题。

再来解释一下条件随机场$P(x_{1...n}|y_{1...n})$为啥长这个样子，这就涉及到刚开始的Hammersly-Clifford law，每次把$x_i$和$x_{i+1}$以及$y_{1..n}$看成一个最大团，则在随机变量Y的取值为y的条件下，随机变量X取值为x的条件概率具有如下形式，分子的x’表示要枚举序列状态x’的全部情况
$$P(x|y)=\frac{Score(x,y)}{{\sum }_{x^{\prime }}Score(x^{\prime },y)}$$
写得更细致一点就是：
$$P(x|y)=\frac{1}{Z(y)}exp[\sum _{i,k}{\lambda }_k{t}_k(x_{i-1},x_i,y,i)+\sum _{i,l}{\mu }_l{s}_l(x_i,y,i)]$$
其中规范化因子Z(y)是
$$Z(y)=\sum _{x}exp[\sum _{i,k}{\lambda }_k{t}_k(x_{i-1},x_i,y,i)+\sum _{i,l}{\mu }_l{s}_l(x_i,y,i)]$$
其中$t_k$是转移特征，$s_l$是状态特征，而Z(y)是全局化的归一因子，这和博客https://blog.youkuaiyun.com/taoqick/article/details/102855935 里的目标函数完全一致。所以LSTM+CRF里无非是把转移概率用LSTM给替换掉，其他是CRF的壳。。。
因此，MEMM和CRF的区别主要是两点：

1. MEMM是有向图，CRF是无向图
2. 在公式表达式，都是指数形式，但是在分母归一化的时候，MEMM是局部归一化，CRF是全局归一化，CRF解决了MEMM标记偏置的问题。

HMM、MEMM和CRF的优缺点比较：

a）与HMM比较。CRF没有HMM那样严格的独立性假设条件，因而可以容纳任意的上下文信息。特征设计灵活（与ME一样）

b）与MEMM比较。由于CRF计算全局最优输出节点的条件概率，它还克服了最大熵马尔可夫模型标记偏置（Label-bias）的缺点。

c）与ME比较。CRF是在给定需要标记的观察序列的条件下，计算整个标记序列的联合概率分布，而不是在给定当前状态条件下，定义下一个状态的状态分布.

更多细节参考数学之美有一章关于条件随机场的应用，李航老师的书