文章介绍了如何使用定积分来计算由函数f(x)定义的曲线绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面的表面积。通过微元法，将曲面面积分解为无数小圆片的面积之和，利用黎曼积分将这些小面积整合起来，得出表面积的表达式为S=2π∫ab|f(x)|√(1+f(x)^2)dx，其中f(x)需在[a,b]上连续。
前置知识
定积分求旋转曲面的面积
设曲线 C C C由 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)确定，且 f ( x ) f(x) f(x)是 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的连续函数，将曲线 C C C绕 x x x轴旋转一周得到一个旋转曲面 H H H，我们要计算 H H H的表面积。
设 S ( x ) S(x) S(x)为 H H H中横坐标在 [ a , x ] [a,x] [a,x]上的部分的表面积，取 x x x的增量 Δ x > 0 \Delta x>0 Δx>0，则 x x x和 x + Δ x x+\Delta x x+Δx在曲线 C C C上对应的两个点为 P ( x , f ( x ) ) P(x,f(x)) P(x,f(x))和 Q ( x + Δ x , f ( x + Δ x ) ) Q(x+\Delta x,f(x+\Delta x)) Q(x+Δx,f(x+Δx))。当 Δ x → 0 \Delta x \to 0
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