定积分求曲线的弧长

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#数学

文章讲述了如何使用黎曼积分的概念来求解曲线的弧长。通过微元法，当Δx趋近于0时，利用微分得到弧长的微分形式dл=√(1+f(x)^2)dx，进而通过定积分求得整个曲线的弧长L=∫a^b√(1+f(x)^2)dx。

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前置知识：黎曼积分的概念

定积分求曲线的弧长

设曲线 C C C由 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)确定，且 f ( x ) f(x) f(x)是 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的连续函数，则称 C C C是一条连续曲线。对于一些难以求出的曲线弧长，我们可以用微元法来求解。

设 l ( x ) l(x) l(x)为连续曲线 C C C在 [ a , x ] [a,x] [a,x]上的弧长，取 x x x的增量 Δ x > 0 \Delta x>0 Δx>0，则 x x x和 x + Δ x x+\Delta x x+Δx在曲线 C C C上对应的两个点为 P ( x , f ( x ) ) P(x,f(x)) P(x,f(x))和<

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平面曲线的弧长和曲率
universe_1207的博客
08-13 4627
文章目录弧长公式直角坐标系下参数方程下定理10.1极坐标下曲率光滑曲线的定义 弧长公式 直角坐标系下 s=∫ab1+f′2(x)dxs=\int_a^b\sqrt{1+f&#x27;^2(x)}dxs=∫ab​1+f′2(x)​dx 参数方程下 s=∫αβx′2(t)+y′2(t)dts=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{x&#x27;^2(t)+y&#...
定积分的应用之 平面曲线的弧长
qq_43193797的博客
08-13 1421
曲线的弧长
jiongjiong 的专栏
12-12 2363
曲线的定义 原文： 来自维基百科： In general, a curve is defined through a continuous function γ:I→X\gamma: I\rightarrow X from an interval II of the real numbers into a topological space XX . Depending on the c
数学分析(十)-定积分的应用3-1-平面曲线的弧长2-弧长公式1：参数方程【设C自交点的非闭，x=x(t)，y=y(t)，t∈[α,β]，则弧长：s=∫ₐᵝ√[x´²(t)+y´²(t)]dt】
u013250861的博客
04-27 1685
如果存在有限极限lim⁡∣T∣→0sTs∣T∣→0lim​sT​s即任给ε0ε0, 恒存在δ0\delta>0δ0, 使得对CCC的任何分割TTT, 只要∥T∥δ∥T∥δ, 就有∣sτ−s∣ε∣sτ​−s∣ε则称曲线CCC是可求长的, 并把极限sss定义为曲线CCC的弧长.
黎曼积分求解可微曲线的弧线长度
Zhang Phil
12-31 5730
黎曼积分求解可微曲线的弧线长度假设曲线y=f(x)在区间[a,b]内光滑、可微且连续。那么可以根据微积分求解y=f(x)在a如图：从微分的思想入手建立数学函数式，假设s为曲线上(x,f(x))到(x+dx,f(x+dx))两点连线。这两点在水平方向的长度为dx，在垂直方向的y坐标轴长度为dy，根据直角三角形的勾股定理可知：其中，由f’(x)=dy/dx，得到dy =f’(x) dx从而：即ds的长
定积分的应用@曲线弧长@旋转曲面面积
xuchaoxin1375的博客
12-13 1604
文章目录曲线弧长参数方程表示的曲线弧长直角坐标方程表示的曲线弧长极坐标方程表示曲线弧长小结应用例例旋转曲面面积👺例 曲线弧长 曲线弧长同样可以用微元法来求解 我们用曲线的内折线的长度来逼近被求曲线弧长 设平面上的曲线lll以A,BA,BA,B为端点,在lll上任意取n+1n+1n+1个点:A=M0,M1,⋯ ,Mn=BA=M_0,M_1,\cdots,M_n=BA=M0​,M1​,⋯,Mn​=B,链接Mi−1,MiM_{i-1},M_iMi−1​,Mi​,i=1,2,⋯ ,ni=1,2,\cdots,ni
高等数学II-知识点（3）——广义积分、定积分几何应用、定积分求曲线弧长、常微分方程、可分离变量的微分方程、一阶微分方程-齐次方程、一阶线性微分方程
li13437542099的博客
07-06 1981
高等数学II-知识点（3）——广义积分、定积分几何应用、定积分求曲线弧长、常微分方程、可分离变量的微分方程、一阶微分方程-齐次方程、一阶线性微分方程 常微分方程基本概念 含有未知函数导数（或微分）的方程称为微分方程。若微分方程的未知函数仅含有一个自变量，则称为常微分方程。 微分方程中所含未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为该微分方程的阶数。 解 如果函数y=f(x)满足一个微分方程，则称此函数为该微分方程的解。 通解 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同
高等数学：第六章 定积分的应用（4）平面曲线的弧长
gukedream的专栏
01-09 7万+
§6.4  平面曲线的弧长 一、直角坐标情形 设函数在区间上具有一阶连续的导数，计算曲线的长度。 取为积分变量，则,在上任取一小区间，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度可以用它的弧微分来近似。 于是，弧长元素为 弧长为 【例1】计算曲线的弧长。 解： 二、参数方程的情形 若曲线由参数方程 给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成 的形式，从而有 ...
一元函数定积分的几何应用：二维平面光滑曲线弧长公式的推导
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Derekqiao1986的博客
12-28 1475
光滑曲线的弧长公式
数学分析(十)-定积分的应用3-1-平面曲线的弧长2-弧长公式2：直角坐标系【参数系s=∫ₐᵝ√[x´²(t)+y´²(t)]dt，x=x，y=f(x)➾直角系：s=∫ₐᵇ√[1+f´²(x)]dx】
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05-26 710
如果存在有限极限lim⁡∣T∣→0sTs∣T∣→0lim​sT​s即任给ε0ε0, 恒存在δ0\delta>0δ0, 使得对CCC的任何分割TTT, 只要∥T∥δ∥T∥δ, 就有∣sτ−s∣ε∣sτ​−s∣ε则称曲线CCC是可求长的, 并把极限sss定义为曲线CCC的弧长.
数学分析(十)-定积分的应用3-1-平面曲线的弧长2-弧长公式3：极坐标系【参数系s=∫ₐᵝ√[x´²(t)+y´²(t)]dt➾极坐标系：s=∫ₐᵝ√[r²(θ)+r´²(θ)]dθ】
u013250861的博客
05-26 2016
不同时为零时, 此极坐标曲线为一光滑曲线.这时弧长公式为。是一条没有自交点的非闭的平面曲线, 由参数方程。由参数方程 (1) 给出. 若。表示, 把它化为参数方程, 则为。是可求长的, 且弧长为。为一条光滑曲线, 则。是可求长的, 且弧长为。
平面曲线的弧长
菜瓜变菜鸟
08-21 9652
平面曲线的弧长曲线弧长的概念定义1 ：弧长定义2：光滑曲线弧长公式定理10.1扩展弧长公式【y = f(x)】弧长公式【r = r(θ\thetaθ)】例题例题1例题2 曲线弧长的概念 定义1 ：弧长 定义2：光滑曲线 弧长公式 定理10.1 扩展 弧长公式【y = f(x)】 弧长公式【r = r(θ\thetaθ)】 例题 例题1 例题2 ...
matlab求曲线长度
dianzhi2787的博客
07-24 3699
曲线段在上的弧长为采用积分所求弧长s=∫√(1+y'²)dxmatlab求出各点的导数，然后按照上式积分 clear>> x=1:0.1:10;>> y=rand(1,length(x));>> dy=diff(y);>> S=0.1*trapz((1+dy.^2).^0.5)S = 9.6474>> plot(x,y,...
重积分 | 极坐标下弧微元（线元ds）的推导
"You are worthy! You can do it!"
07-11 1万+
极坐标下的曲线r(θ)如上图。 所求ds用图中三角形斜边代替， 三角形近似为直角三角形。 有： ds＝√((rdθ)²＋(dr)²) ＝√((rdθ)²＋(dr/dθ)²(dθ)²) ＝√(r²＋(dr/dθ)²) dθ ＝√(r²＋r'²) dθ
【数学】弧长的积分公式，也即求曲线方程曲线的长度，求圆的周长公式
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本文将推导弧长积分公式。 对于函数，在区间上连续可导。那么求该函数在该区间上的弧的长度。 则弧长的微元 则在区间上，弧长(弧长公式） 针对于积分的定义，可以使用牛顿.莱布尼茨公式对其进行求解。 【求圆的周长举例】 圆的半径设为，圆的公式为，划为的形式为，此处y取正值，先求在第一象限内的四分之一圆。 由于弧长公式中有个，我们先把求出来： 则 将其带入弧长公式，在第一象限的...
088 定积分几何应用之面积、体积、弧长计算方法总结
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高等数学——平面曲线的弧长的计算
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05-28 3241
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高等数学——曲线积分的计算（弧长）
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06-21 6488
高等数学
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