定积分求曲线的弧长

前置知识：黎曼积分的概念

定积分求曲线的弧长

设曲线$C$由$y=f(x)$确定，且$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数，则称$C$是一条连续曲线。对于一些难以求出的曲线弧长，我们可以用微元法来求解。

设$l(x)$为连续曲线$C$在$[a,x]$上的弧长，取$x$的增量$\Delta x>0$，则$x$和$x+\Delta x$在曲线$C$上对应的两个点为$P(x,f(x))$和$Q(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$。当$\Delta x\to 0$时，弧$PQ$的长度可以用弦$PQ$的长度来代替，而$PQ$的长度可以求出：

$|PQ|=\sqrt{(x+\Delta x-x{)}^2+(f(x+\Delta x)-f(x){)}^2}$

$=\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}\Delta x+o(\Delta x)$

由此可得，当$\Delta x\to 0$时，

$l(x+\Delta x)-l(x)=\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}\Delta x+o(\Delta x)$

所以，$l(x)$的微分为

$dl=\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx$

那么，曲线$C$的弧长为

$L={\int }_a^{b}dl={\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx$

这样就能够求出曲线的弧长了。