雅礼集训1.2 T2变量

最新推荐文章于 2025-12-12 16:37:00 发布

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#c++ #题解

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该文章介绍了一种利用最大流算法解决含有绝对值的线性表达式优化问题的方法。题目中涉及n个变量，每个变量可取-W到W的值，有p个式子和q个条件约束。通过建立网络流图并处理绝对值项，转换为求解最小割问题，最终计算总和的最小值。算法的时间复杂度与最大流算法相关。

题目大意

有 $n$ 个变量 $w[1],w[2],…,w[n]w[1],w[2],\dots,w[n]$ ，每个变量可以取 $- W$ 或 $W$ 。

有 $p$ 个式子，形如

有 $q$ 个条件，每个条件表示为 $x, y, r$ 。

$r = 0$ 表示 $w[x]≤w[y]w[x]\leq w[y]$
$r = 1$ 表示 $w [x] = w [y]$
$r = 2$ 表示 $w [x] < w [y]$

求 $∑w[i]+∑Hi\sum w[i]+\sum H_i$ 的最小值。保证存在方案。

$1≤t≤101\leq t\leq 10$ ， $1≤n≤5001\leq n\leq 500$ ， $1≤p,q≤10001\leq p,q\leq 1000$ ， $1≤W≤1061\leq W\leq 10^6$ ， $0≤ai,bi,ci,di,ei,fi≤10000\leq a_i,b_i,c_i,d_i,e_i,f_i\leq 1000$

题解

我们可以把题面看作变量选 $- 1$ 或 $1$ ，最后再乘上 $W$ 。

这题要用用最大流。对于每个变量，建一个点 $i$ ，源点 $s$ 向 $i$ 连边， $i$ 向 $t$ 连边。割这两条边分别表示取 $- 1$ 和 $1$ 。

在 $p$ 个式子中，我们把不带绝对值的拆开，分别加到各个点的系数 $v_i$ 上。对于带绝对值的，如 $a_i|w[x_i]-w[y_i]|$ ，则在 $x_i$ 和 $y_i$ 之间连一条流量为 $2a_i$ 的无向边。

对于 $q$ 个条件， $w [x] < w [y]$ 等价于 $w [x] = - 1, w [y] = 1$ ；如果 $w [x] = w [y]$ ，就在 $w [x]$ 和 $w [y]$ 之间连一条流量为正无穷的边；如果 $w[x]≤w[y]w[x]\leq w[y]$ ，就从 $a$ 向 $b$ 连一条流量为正无穷的有向边。

因为存在负边权，所以我们需要把所有 $s$ 到 $i$ 和 $i$ 到 $t$ 的边加上一个小于正无穷的值 $pt$ ，然后在最后减去 $n×ptn\times pt$ 即可。

跑一遍最大流求最小割，然后减去 $n×ptn\times pt$ ，再乘上 $W$ 即可。

时间复杂度为 $O(t×maxflow(n,n+p+q))O(t\times maxflow(n,n+p+q))$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,ww,p,q,tot,s,t,cs[20005],l[20005],r[20005],d[20005],vd[20005];
long long ans,w[20005],v[20005];
long long inf=1e16,pt=1e10;
void add(int xx,int yy,long long zz){
	l[++tot]=r[xx];cs[tot]=yy;r[xx]=tot;w[tot]=zz; 
}
long long aug(int i,long long augco){
	if(i==t) return augco;
	long long augc=augco,dl=0;
	int md=n-1;
	for(int u=r[i];u;u=l[u]){
		int j=cs[u];
		if(w[u]>0){
			if(d[i]==d[j]+1){
				dl=min(augc,w[u]);
				dl=aug(j,dl);
				w[u]-=dl;
				w[u^1]+=dl;
				augc-=dl;
				if(d[s]>=n) return augco-augc;
				if(!augc) break;
			}
			if(md>d[j]) md=d[j];
		}
	}
	if(augco==augc){
		--vd[d[i]];
		if(!vd[d[i]]) d[s]=n;
		d[i]=md+1;
		++vd[d[i]];
	}
	return augco-augc;
}
void sap(){
	memset(d,0,sizeof(d));
	vd[0]=n;
	while(d[s]<n) ans+=aug(s,inf);
}
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d%d%d",&n,&ww,&p,&q);
		tot=1;
		memset(r,0,sizeof(r));
		for(int i=1;i<=n;i++) v[i]=1;
		int x,y,z,a,b,c,d,e,f;
		s=n+1;t=n+2;
		for(int i=1;i<=p;i++){
			scanf("%d%d%d%d%d%d%d%d%d",&x,&y,&z,&a,&b,&c,&d,&e,&f);
			add(x,y,2*a);add(y,x,2*a);
			add(y,z,2*b);add(z,y,2*b);
			add(z,x,2*c);add(x,z,2*c);
			v[x]+=d-f;
			v[y]+=e-d;
			v[z]+=f-e;
		}
		for(int i=1;i<=q;i++){
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			if(z==0){
				add(x,y,inf);add(y,x,0);
			}
			else if(z==1){
				add(x,y,inf);add(y,x,inf);
			}
			else{
				add(x,t,inf);add(t,x,0);
				add(s,y,inf);add(y,s,0);
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			add(s,i,-v[i]+pt);add(i,s,0);
			add(i,t,v[i]+pt);add(t,i,0);
		}
		ans=-n*pt;
		n+=2;
		sap();
		printf("%lld\n",ans*ww);
	}
	return 0;
}