雅礼集训1.2 T3取石子

最新推荐文章于 2025-12-12 16:37:00 发布

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#c++ #题解

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文章描述了一个关于石子的游戏，Alice和Bob轮流从n堆石子中取走一定数量。通过模运算简化问题，分析了四种获胜情况：Alice必胜、Bob必胜、先手必胜、后手必胜。对于每种情况，文章给出了具体的策略和计数方法，如考虑石子数量对(a+b)的余数，以及不同数量范围内的石子对胜负的影响。

题目大意

有 $n$ 堆石子，第 $i$ 堆有 $x_i$ 个。 $A l i ce$ 和 $B o b$ 轮流取石子，先后手未定， $A l i ce$ 每次从一堆中取走 $a$ 个， $B o b$ 每次从一堆中取走 $b$ 个，不能操作者输。

不难发现只有四种情况： $A l i ce$ 必胜， $B o b$ 必胜，先手必胜，后手必胜。你需要选若干堆石子（总共有 $2^n$ 种选法）， $A l i ce$ 和 $B o b$ 只能在你选出的堆中取，问以上四种情况对应的方案数。

$1≤n≤1051\leq n\leq 10^5$ ， $1≤a,b,xi≤1091\leq a,b,x_i\leq 10^9$

题解

不妨设 $a < b$

首先，我们可以将每一堆的石子数量模 $(a + b)$ 。为什么可以这样呢？

如果模 $(a + b)$ 后可以证明一方必胜

如果这一方是后手，则只要先手拿的那一堆大于等于 $(a + b)$ ，则取那一堆；否则按最优策略取对应的那一堆
如果这一方是先手，则先按最优策略取一堆，然后它就是后手了，接着按后手的方法来取就行了

然后我们可以分类讨论，不妨设 $a < b$ 。

如果 $x_i<a$ ，则这一类没有用
如果 $a≤xi<ba\leq x_i<b$ ，则存在则 $a$ 必胜
如果 $b≤xi<2ab\leq x_i<2a$ ，答案只与这一类的奇偶性相关
如果 $xi≥2ax_i\geq 2a$ ，在没有第二类石子的条件下
- 存在至少两个则 $a$ 必胜
- 存在一个且第三类石子个数为偶数则先手必胜
- 存在一个且第三类石子个数为奇数则 $a$ 必胜
- 不存在且第三类石子个数为奇数则先手必胜
- 不存在且第三类石子个数为偶数则后手必胜

时间复杂度为 $O (n)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000;
int n,a,b,fl=0,x[100005];
int v1=0,v2=0,v3=0,v4=0;
long long ans1=0,ans2=0,ans3=0,ans4=0,jc[N+5],ny[N+5];
long long mod=1000000007;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
void init(){
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	ny[N]=mi(jc[N],mod-2);
	for(int i=N-1;i>=0;i--) ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mod;
}
long long C(int x,int y){
	return jc[x]*ny[y]%mod*ny[x-y]%mod;
}
int main()
{
	init();
	scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
	if(a>b){
		fl=1;swap(a,b);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x[i]);
		x[i]=x[i]%(a+b);
		if(x[i]<a) ++v1;
		else if(x[i]>=a&&x[i]<b) ++v2;
		else if(x[i]>=b&&x[i]<2*a) ++v3;
		else ++v4;
	}
	long long tmp=mi(2,v1+v3+v4);
	for(int i=1;i<=v2;i++){
		ans1=(ans1+C(v2,i)*tmp%mod)%mod; 
	}
	tmp=mi(2,v1);
	for(int i=0;i<=v3;i++){
		if(i&1) ans3=(ans3+C(v3,i)*tmp%mod)%mod;
		else ans4=(ans4+C(v3,i)*tmp%mod)%mod;
	}
	tmp=mi(2,v1)*v4%mod;
	for(int i=0;i<=v3;i++){
		if(i&1) ans1=(ans1+C(v3,i)*tmp%mod)%mod;
		else ans3=(ans3+C(v3,i)*tmp%mod)%mod;
	}
	tmp=mi(2,v1+v3);
	for(int i=2;i<=v4;i++){
		ans1=(ans1+C(v4,i)*tmp%mod)%mod;
	}
	if(fl) swap(ans1,ans2);
	printf("%lld %lld %lld %lld",ans1,ans2,ans3,ans4);
	return 0;
}