导数大题练习

已知函数$f(x)=a\ln x-\frac{1}{x}$，$a\in R$
（1）若曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与直线$x+2y=0$垂直，求$a$的值
（2）求函数$f(x)$的单调区间
（3）当$a=1$，且$x\ge 2$时，证明：$f(x-1)\le 2x-5$

解：
\qquad （1）函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty )$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$

\qquad 因为曲线$y=f(x)$在$(1,f(1))$处的切线与直线$x+2y=0$垂直

\qquad 所以$f^{\prime }(1)=a+1=2$，即$a=1$

\qquad （2）$f^{\prime }(x)=\frac{ax+1}{x^2}$

\qquad 当$a\ge 0$时，在$f(x)$的定义域内，$f^{\prime }(x)>0$恒成立

\qquad 所以当$a\ge 0$时，$f(x)$在$(0,+\infty )$上单调递增

\qquad 当$a<0$时，在$x=-\frac{1}{a}$时$f^{\prime }(x)=0$

\qquad 当$x\in (0,-\frac{1}{a})$时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$单调递增

\qquad 当$x\in (-\frac{1}{a},+\infty )$时，$f(x)<0$，$f(x)$单调递减

\qquad 所以$a<0$时，$f(x)$在$(0,-\frac{1}{a}]$上单调递增，在$[-\frac{1}{a},+\infty )$上单调递减

\qquad （3）当$a=1$，且$x\ge 2$时，$f(x-1)=\ln (x-1)-\frac{1}{x-1}$

\qquad 令$g(x)=\ln (x-1)-\frac{1}{x-1}-2x+5$

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1{)}^2}-2=-\frac{(2x-1)(x-2)}{(x-1{)}^2}$

\qquad 当$x>2$时，$g^{\prime }(x)<0$，所以$g(x)$在$[2,+\infty )$上单调递减

\qquad 因为$g(2)=0$，所以$g(x)\le 0$

\qquad 即$\ln (x-1)-\frac{1}{x-1}-2x+5\le 0$

\qquad 所以$a=1$，$x\ge 2$时，$f(x-1)\le 2x-5$

总结

本题考查了导数求函数的单调性与极值的知识点，比较基础。