最长公共上升子序列

要求最长公共上升子序列(LCIS)，我们要先学会最长上升子序列(LIS)和最长公共子序列(LCS)。

最长上升子序列

求数列$a$的最长上升子序列
设$f_i$表示前$i$个数的最长上升子序列的长度，则$f_i=\underset{j<i\wedge a[j]<a[i]}{\max }{f}_j$

code

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<i;j++){
		if(a[i]>a[j]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
	}
}

这个代码是$O(n^2)$的，用线段树或树状数组可以优化到$O(nlogn)$，但这与我们的主题没有太大关联，所以这里就不再赘述了。

最长公共子序列

求数列$a$和数列$b$的最长公共子序列
设$f_{i,j}$表示数列$a$前$i$个和数列$b$前$j$个的最长公共子序列，则$f_{i,j}=max(f_{i,j-1},f_{i-1,j},f_{i-1,j-1}+(a_i==b_j))$

code

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
		if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
	}
}

时间复杂度也是$O(n^2)$的

最长公共上升子序列

求最长公共上升子序列就是前两种方法的结合。
设$f_{i,j}$表示数列$a$前$i$个和数列$b$前$j$个的最长公共子序列。当$a_i==b_j$时，在$[i,j-1]$中选出最大的$f_{i,k}$并转移

for(int i=1;i<=n;i++){
	for(int j=1;j<=m;j++){
		f[i][j]=[i-1][j];
		if(a[i]==b[j]){
			int mx=1;
			for(int k=1;k<j;k++){
				if(a[i]>b[k]) mx=max(mx,f[i-1][k]+1);
			}
			f[i][j]=max(f[i][j],mx);
		}
	}
}

时间复杂度为$O(n^3)$，很容易时超，所以我们要稍微优化一下
每次求$mx$是在$[1,j-1]$中求最大值，而$j$是从小到大增加的，那么我们可以在$j$增大的时候顺便求出此时$mx$的值，就可以省去一维循环，还能将$f$数组压掉一维。

code

for(int i=1;i<=n;i++){
	int mx=1;
	for(int j=1;j<=m;j++){
		if(a[i]==b[j]){
			f[j]=max(f[j],mx);
		}
		if(a[i]>b[j]){
			mx=max(mx,f[j]+1);
		}
	}
}