分块算法详解

长为$n$的数列，操作涉及区间修改和区间查询，应该如何处理？
用线段树等许多数据结构都可以做，但是有时用其它数据结构来解决会十分棘手，代码量也会变得很大。这时，我们就需要用到分块了。

分块

分块是一种非常暴力的数据结构。对于一个长度为$n$的序列，将序列分成$\lceil \sqrt{n}\rceil$块，每块长度最多为$\lfloor \sqrt{n}\rfloor$，维护每一块的信息，我们设第$i$个块的左端点为$L_i$，右端点为$R_i$

单点查询直接查询就可以了，是$O(1)$的。单点修改需要修改点和该点所在的区间，一般情况下也可以达到$O(1)$

接下来就是区间查询和区间修改了。比如要将区间$[l,r]$进行区间查询，先找到$l$所在的块$a$和$r$所在的块$b$。对$[l,R_a]$和$[L_b,r]$暴力查询，然后在第$a+1$到$b-1$块上打懒标记或每块逐个处理即可。区间修改与区间查询类似。

对于单次操作，枚举两边多余部分$O(\sqrt{n})$，枚举各块$O(\sqrt{n})$。所以一次操作的时间复杂度为$O(\sqrt{n})$，总时间复杂度$O(n\sqrt{n})$。虽然相对于线段树的$O(nlogn)$分块还是略逊一筹，但是分块方便易懂，在数据规模较小的情况下，分块甚至能代替许多高级的数据结构。

例题

例1
给出一个长为$n$的数列，以及$n$次操作，操作涉及区间加法，单点查值。

板题，比较简单

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,v,op,l,r,c,a[1000005],k[100005];
void pt(){
    if(l%v!=1){
        int re=(l-1)/v*v+v;
        while(l<=r&&l<=re){
            a[l]+=c;++l;
        }
    }
    while(l/v<=r/v&&r-l+1>=v){
        k[(l-1)/v+1]+=c;l+=v;
    }
    while(l<=r){
        a[l]+=c;++l;
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    v=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&c);
        if(op==0) pt();
        else printf("%d\n",a[r]+k[(r-1)/v+1]);
    }
}

例2
给出一个长为n的数列，以及n个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值x的元素个数。

同样地，将数列分为$\lceil \sqrt{n}\rceil$块，用数组$a$来按原序存储数列，用数组$t$来按各块排序后的顺序存储数组。
对于区间加法，将两边部分在$a$数组中一个一个处理，然后将两边部分所在的块放在$t$数组中重新排序。中间各块打上懒标记即可。
对于区间查询，两边部分枚举一下，中间各块每块在$t$数组中二分查找即可
总时间复杂度$O(nlogn\sqrt{n})$，具体方法看代码

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,v,op,l,r,ans;
long long c,a[200005],t[200005],k[10005];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    v=sqrt(n);
    for(int i=n+1;i<=n+v;i++) a[i]=t[i]=1e15;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        t[i]=a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(i%v==1){
            sort(t+i,t+i+v);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d%lld",&op,&l,&r,&c);
        if(op==0){
            if(l%v!=1){
                int re=(l-1)/v*v+v;
                while(l<=r&&l<=re){
                    a[l]+=c;++l;
                }
                for(int i=re-v+1;i<=re;i++) t[i]=a[i];
                sort(t+re-v+1,t+re+1);
            }
            while(l/v<=r/v&&r-l+1>=v){
                k[(l-1)/v+1]+=c;l+=v;
            }
            if(l<=r){
                int re=(l-1)/v*v;
                while(l<=r){
                    a[l]+=c;++l;
                }
                for(int i=re+1;i<=re+v;i++) t[i]=a[i];
                sort(t+re+1,t+re+v+1);
            }
        }
        else{
            ans=0;
            if(l%v!=1){
                int re=(l-1)/v*v+v;
                while(l<=r&&l<=re){
                    if(a[l]<c*c-k[(l-1)/v+1]) ++ans;
                    ++l;
                }
            }
            while(l/v<=r/v&&r-l+1>=v){
                int dl=(l-1)/v*v+1,dr=(l-1)/v*v+v,mid,ot=(l-1)/v*v,re=(l-1)/v+1;
                while(dl<=dr){
                    mid=(dl+dr)/2;
                    if(t[mid]<c*c-k[re]){
                        ot=mid;dl=mid+1;
                    }
                    else dr=mid-1;
                }
                ans+=ot-(l-1)/v*v;l+=v;
            }
            if(l<=r){
                int re=(l-1)/v+1;
                while(l<=r){
                    if(a[l]<c*c-k[re]) ++ans;
                    ++l;
                }
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
}