Noip2013火柴排队题解

本文介绍了一种算法问题,即通过交换两列不同高度的火柴以最小化它们之间的距离,并给出了具体的实现代码。该问题涉及排序不等式、逆序对数计算等概念。

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题目

  • 题目描述 Description
    涵涵有两盒火柴,每盒装有 n 根火柴,每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列,同一列火柴的高度互不相同,两列火柴之间的距离定义为Σni=1(aibi)2,其中ai表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度,bi表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
    每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换,请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离,最少需要交换多少次?如果这个数字太大,请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

  • 输入描述 Input Description
    共三行,第一行包含一个整数 n,表示每盒中火柴的数目。
    第二行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第一列火柴的高度。
    第三行有 n 个整数,每两个整数之间用一个空格隔开,表示第二列火柴的高度。

  • 输出描述 Output Description
    输出共一行,包含一个整数,表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

  • 样例输入 Sample Input
    [Sample 1]
    4
    2 3 1 4
    3 2 1 4
    [Sample 2]
    4
    1 3 4 2
    1 7 2 4

  • 样例输出 Sample Output
    [Sample 1]
    1
    [Sample 2]
    2

  • 数据范围及提示 Data Size & Hint
    【样例1说明】
    最小距离是 0,最少需要交换 1 次,比如:交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
    【样例2说明】
    最小距离是 10,最少需要交换 2 次,比如:交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置,再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
    【数据范围】
    对于 10%的数据, 1 ≤ n ≤ 10;
    对于 30%的数据,1 ≤ n ≤ 100;
    对于 60%的数据,1 ≤ n ≤ 1,000;
    对于 100%的数据,1 ≤ n ≤ 100,000,0 ≤火柴高度≤231- 1。

题解

  • 看起来似乎要让a和b“对齐”,就是a中第i高的火柴和b中第i高的火柴在同一位置,证明用到排序不等式,如下:
    记p是的一个排列,那么此时a的顺序是ap1,ap2,ap3,,apn,此时的距离为

    Σni=1(apibi)2=Σni=1(a2pi+b2i2apibi)=Σni=1a2pi+Σni=1b2i2Σni=1(apibi)=K2Σni=1(apibi)

    其中K是a和b中各元素的平方和,显然是一个常数。要使上式最小化,则应使Σni=1(apibi)最大化;由排序不等式可知,Σni=1(apibi)的顺序和最大,所以应该使a中第i高的火柴和b中第i高的火柴在同一位置。
  • 那么使a中第i高的火柴和b中第i高的火柴在同一位置所需的最小交换次数即为答案。题目中说只有相邻的火柴可以相互交换,怎么这么像逆序对数?如果b有序,那没错,就是逆序对数。如果b无序呢?就当b有序好了。我们重新“定义”一下比较大小的方式,让b中的元素在这种比较方式下递增,比如样例一我们可以定义3<2<1<4。在新的比较方式下对a求逆序对数不就得到答案了吗?

  • 然后是具体实现。首先要对a和b离散化,把a和b分别映射到区间[1,n]的整数上去,这样一来,a中第i高的火柴和b中第i高的火柴就一样高了,对应关系很好确定。然后用一种奇妙的方式对a和b进行重标号:让bi的标号是i,即f(bi)=i,然后依次求出所有f(ai),把答案形成一个新序列并用它代替ai。在这个新序列上求逆序对数就能得到答案了。

  • Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int M = 99999997, N = 100005;
int n, a[N], b[N], p[N], tmp[N], ans;
int dis[N];
void msort(int l, int r)
{
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(l < r)
    {
        msort(l, mid); msort(mid + 1, r);
    }
    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(p[i] <= p[j]) tmp[k++] = p[i++];
        else
        {
            ans = (ans + mid - i + 1) % M;
            tmp[k++] = p[j++];
        }
    }
    while(i <= mid) tmp[k++] = p[i++];
    while(j <= r) tmp[k++] = p[j++];
    for(i = l; i <= r; ++i) p[i] = tmp[i];
}
int main()
{
    ans = 0;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        dis[i] = a[i];
    }
    sort(dis + 1, dis + n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        a[i] = lower_bound(dis + 1, dis + n + 1, a[i]) - dis;
    }
    //离散化a数组
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &b[i]);
        dis[i] = b[i];
    }
    sort(dis + 1, dis + n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        b[i] = lower_bound(dis + 1, dis + n + 1, b[i]) - dis;
    }
    //离散化b数组
    for(int i = 1; i <= n; ++i) dis[b[i]] = i;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = dis[a[i]];
    //重标号,新序列记录在p数组中
    msort(1, n);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}
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