Noip2013火柴排队题解_火柴排队题源-优快云博客

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本文介绍了一种算法问题，即通过交换两列不同高度的火柴以最小化它们之间的距离，并给出了具体的实现代码。该问题涉及排序不等式、逆序对数计算等概念。

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题目

题目描述 Description
涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为 $\Sigma_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2$ ，其中 $a_i$ 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度， $b_i$ 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
输入描述 Input Description
共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。
输出描述 Output Description
输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。
样例输入 Sample Input
[Sample 1]
4
2 3 1 4
3 2 1 4
[Sample 2]
4
1 3 4 2
1 7 2 4
样例输出 Sample Output
[Sample 1]
1
[Sample 2]
2
数据范围及提示 Data Size & Hint
【样例1说明】
最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
【样例2说明】
最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
【数据范围】
对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；
对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；
对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ $2^{31}$ - 1。

题解

看起来似乎要让a和b“对齐”，就是a中第i高的火柴和b中第i高的火柴在同一位置，证明用到排序不等式，如下：
记p是的一个排列，那么此时a的顺序是 $a_{p_1},a_{p_2},a_{p_3},\dots, a_{p_n}$ ，此时的距离为
$Σ n i = 1 (a p i - b i) 2 = Σ n i = 1 (a 2 p i + b 2 i - 2 * a p i * b i) = Σ n i = 1 a 2 p i + Σ n i = 1 b 2 i - 2 * Σ n i = 1 (a p i * b i) = K - 2 * Σ n i = 1 (a p i * b i)$ $\Sigma_{i=1}^{n}(a_{p_i}-b_i)^2\\=\Sigma_{i=1}^{n}(a_{p_i}^2+b_i^2-2*a_{p_i}*b_i)\\=\Sigma_{i=1}^na_{p_i}^2+\Sigma_{i=1}^nb_i^2-2*\Sigma_{i=1}^n(a_{p_i}*b_i)\\=K-2*\Sigma_{i=1}^n(a_{p_i}*b_i)$
其中K是a和b中各元素的平方和，显然是一个常数。要使上式最小化，则应使 $\Sigma_{i=1}^n(a_{p_i}*b_i)$ 最大化；由排序不等式可知， $\Sigma_{i=1}^n(a_{p_i}*b_i)$ 的顺序和最大，所以应该使a中第i高的火柴和b中第i高的火柴在同一位置。
那么使a中第i高的火柴和b中第i高的火柴在同一位置所需的最小交换次数即为答案。题目中说只有相邻的火柴可以相互交换，怎么这么像逆序对数？如果b有序，那没错，就是逆序对数。如果b无序呢？就当b有序好了。我们重新“定义”一下比较大小的方式，让b中的元素在这种比较方式下递增，比如样例一我们可以定义 $3<2<1<4$ 。在新的比较方式下对a求逆序对数不就得到答案了吗？
然后是具体实现。首先要对a和b离散化，把a和b分别映射到区间 $[1,n]$ 的整数上去，这样一来，a中第i高的火柴和b中第i高的火柴就一样高了，对应关系很好确定。然后用一种奇妙的方式对a和b进行重标号：让 $b_i$ 的标号是i，即 $f(b_i)=i$ ，然后依次求出所有 $f(a_i)$ ，把答案形成一个新序列并用它代替 $a_i$ 。在这个新序列上求逆序对数就能得到答案了。
Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int M = 99999997, N = 100005;
int n, a[N], b[N], p[N], tmp[N], ans;
int dis[N];
void msort(int l, int r)
{
    int mid = (l + r) >> 1;
    if(l < r)
    {
        msort(l, mid); msort(mid + 1, r);
    }
    int i = l, j = mid + 1, k = l;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(p[i] <= p[j]) tmp[k++] = p[i++];
        else
        {
            ans = (ans + mid - i + 1) % M;
            tmp[k++] = p[j++];
        }
    }
    while(i <= mid) tmp[k++] = p[i++];
    while(j <= r) tmp[k++] = p[j++];
    for(i = l; i <= r; ++i) p[i] = tmp[i];
}
int main()
{
    ans = 0;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        dis[i] = a[i];
    }
    sort(dis + 1, dis + n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        a[i] = lower_bound(dis + 1, dis + n + 1, a[i]) - dis;
    }
    //离散化a数组
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        scanf("%d", &b[i]);
        dis[i] = b[i];
    }
    sort(dis + 1, dis + n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        b[i] = lower_bound(dis + 1, dis + n + 1, b[i]) - dis;
    }
    //离散化b数组
    for(int i = 1; i <= n; ++i) dis[b[i]] = i;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) p[i] = dis[a[i]];
    //重标号，新序列记录在p数组中
    msort(1, n);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}